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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑 $ _% g4 O% d0 \0 |& h
4 K8 _% e$ |4 h1 e 我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡& K, ]8 R4 U3 L/ g; C2 U' B
( D4 G; b. B( f5 }8 T' a; c(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的
8 ~$ G, g) \- ]% Z; T- ^' Z5 K" r8 p/ R
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,
- Z& g, y( w3 s# P' ?* E4 K6 v. ~, \1 N6 f. I' t
就算打赌,也要精“打”细算。 X% f/ `0 j, L' a8 v
7 s5 S2 V4 @6 B7 s$ h. Q
完美的DB
6 Z5 q$ i) L2 d" m
, u0 }2 K! @$ X- y# N# l, [! | d( B2 o5 |+ f
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。1 [) {1 l9 J' p, ~1 ?! z# i
1 p* [" m" T8 S& Q粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概" E8 v* X' \7 ?/ R. y* Q
( T D# |# h- n6 q: R% ]
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我0 S( k0 X0 ^( ]( O/ h
" t9 {7 y A7 s3 U2 `' [) q% e们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!% B5 b9 C1 E5 v( F4 f# u( k! A9 P
' N8 v' _# J+ o) ]& b$ }# w" P方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
& [+ u8 c& I; b6 ~
9 U5 v. o; a$ B6 X5 N" t" R5 R只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
; m1 X. p( j$ B5 G4 g: D
8 h. y F }5 d+ J/ v" ?1 T- l/ q正,就会跟我们打赌:/ V/ B( S3 X) y' ?! `1 w3 i
" c, M8 j6 _! k2 q/ H
p * x - ( 1-p ) * y > 0# ?6 f8 O6 c" c
q * x - ( 1-q ) * y > 0
; ~) I6 p. \7 X5 n/ m6 `加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就0 G6 L7 p" S# R# O6 e
' @2 b1 Q6 d* w/ X5 C; _! v
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:, n3 |9 n! Q7 u+ { W6 b1 _. f$ a
+ `, h: G/ M6 z! x, j
+ b$ m6 d# x7 g
# O0 h" A9 ~" S i4 P: g看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
% k7 z+ B2 @: l- b2 K8 m( `; u6 u1 u
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又2 y! [* L) a2 N# T& F/ S
6 S4 b6 G$ W. O/ J5 Y, P
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?3 u$ ]1 ]5 A- D: Z; G( M7 ~! `" \
) a f8 Y7 H9 y4 r$ t% R# `( `' `8 \7 M2 O5 C
三张卡片的骗局
: r \" ~7 G- K8 _- C/ o# Y8 r/ Z
4 F$ z& c% C! q2 J3 p0 ~1 _% ^& O, n, k% z" a! T( k2 @
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
& U# E) F1 |' ?# S
6 s! }, H7 \2 N- i4 T1 j+ r6 [- A. ^红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
* `9 d# l1 t3 t" `4 F8 K5 p* E2 _% z5 V7 N# W
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面! F2 t; Y+ G- r; V$ D
# O' T' e8 Q* y9 v$ ~
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
4 d- K! L( _8 S! V9 R
' Y. Y" t/ U9 Z, i, G: Z, b" A事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
! m0 i/ [& q! w _8 U9 c6 t, C2 B! d+ i" w v7 a9 [4 x& a
是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
4 L+ j4 w! ^6 q0 d3 p, G$ l
0 @: p# h3 |; j2 e8 V7 _( ~
/ Q5 w! e& w' G! K
! U! W4 N* O0 t# p J, Q2 M) q: {. ~- S
7 R M- ?( B2 @
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色( b; K3 N4 \, h" F
2 t" F( u, ]3 A' g& z
的情形占了2/3。5 C3 s9 q% n% k5 E" c2 p
& F* D1 g# y0 k这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这
3 c% a' d- n& A6 E. l4 \! }
3 H, c% c: k% ^3 b. S4 q/ b: j个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国
+ `0 _' j- O% ` W4 i; V2 r8 J8 O6 r, b, R( m# |
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)6 u0 `3 h3 {( M S- ]0 s( L
3 }8 }% l" I8 }称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。4 p9 a5 m. O; D- Y; U, u
1 _$ W' O3 u- H如此不平凡的黑桃A
' X; B$ R: k6 J' l
1 |& ]) I# p( [' k' S' }' g# @有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面% n# c3 Q. u! R" n
* R$ m$ L' G& n: Y
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
5 s$ j2 p5 [3 M% O) K& c
4 C. E3 C& z$ w, Z还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,- e7 j$ F! R% R1 m5 b
; f( z F6 D. e+ |
当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我- D, L5 V' @- M8 `7 ] ~
S1 ~2 T; ?% h还有没有更多的A?”5 C$ @+ ~/ A$ e, E& W4 k9 x9 m
/ O; Z# U. s# O9 \0 B
很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人
6 ~, k! H8 m& @5 P3 w4 y/ w% `. {% a
不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
6 Y4 k2 H z: u! ]0 D' o* }. a3 u6 U, S" E+ C
没有A的情形:C(48,13)* ~' {5 d, U4 q# ]
N6 f$ a; J5 q) \! e' x; E6 a
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)
& ]) @ O/ ]) e, Q: v* V# e- H3 x* Y. G/ m0 c6 P& i
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
& ?2 m6 R4 L* m, `' M' _( g( c! ~
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12): _: \6 A; O# P" s* n2 X* m5 N+ z
* g4 v/ ~+ |5 @3 q: N3 P( }
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
* Y J# O$ s% @" O5 t0 _: h, L$ m" h2 L* ]1 k4 w3 T4 X8 R
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
8 S) A5 q9 E2 `7 C+ Z1 @7 Y1 Y(C(52,13)-C(48,13))≈37%
8 G. Z1 {4 u& [# C
1 @* X" G+ ~& @+ Z5 x+ j这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
( U+ C* J' \- J) D. v8 g$ i* w打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,. k2 r( H5 z! V
) Z% j3 P; H+ ?1 ]" F1 x! w4 Y
接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:) S# A9 Q& @9 a. i4 s j- M4 f7 a
2 t: o* t$ Z$ U7 [3 `% @ {
有黑桃A的情形:C(51,12)' B' @1 w" j- R5 H+ R
6 y$ ?+ k( S7 I6 l没有其它A的情形:C(48,12)' {1 `& g8 R/ {! P1 {
; T7 E# s, \1 `" |; Q% W" P6 z0 H5 C
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
' g h, [/ _& s% E/ o
0 s7 Y/ }+ @, ^1 E- S- L事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:/ a. p' I. w- ]4 D1 B
3 E" N# [+ y' F+ |. I2 UP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。# D5 k+ e7 R6 I
3 ~' K4 v) n7 w& Z/ p: ?, G2 @% R
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议# n, _ |. c$ \1 `# w4 U S! B
. H; s2 k% Q! ^' e在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道0 R+ W5 H( ~( y4 W. D
* Q0 k* @7 P% C/ I5 C" A你是传说中的死理性派!
5 C1 _4 l$ b3 s" P* S1 I$ D1 i a9 \* r2 G3 A
9 q0 m: y- U6 [1 ?
: M* p8 b+ K! F- u. I+ r W: B% U
! I, a2 G- |) S, a% {2 z. y* ~$ f
# ~; g/ @4 _& x3 x: ~& a. r
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