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出乎意料的概率问题
9 Z# C) m# R3 f! B2 T. w; U, b3 a" h% {2 X ~
大英帝国彩票
4 w5 f# `# h5 `, r" r
- w f: X' H( L0 R& U% ?: r “下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！2 q: u( T6 }0 |, G' C
/ N& f$ S+ G0 [* w O. x6 Q" L% e& j% U
一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。如今在世界各地都流行著类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。很简单，只要花2元的人民币，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。
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) i# A3 j8 r6 T/ } o! h0 t( O 但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下。大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码。买一张彩票，你只需要选六个号、花1英镑而已。在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字都被你选中了，你就获得了头等奖。可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13983816种方法！* x$ n. X! F3 u: u
& t: }" @ N2 C 这就是说，假如你只买了一张彩票，六个号码全对的机会是大约一千四百万分之一，这个数小得已经无法想象，大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会。如果每星期你买50张彩票，你赢得一次大奖的时间约为5000年；即使每星期买1000张彩票，也大致需要270年才一次六个号码全对的机会。这几乎是单个人力不可为的，获奖仅是我们期盼的偶然而又偶然的事件。5 {1 j1 Z7 d8 y6 F) }) v
* W" N+ H- T# r6 a9 ~6 @ 那么为什么总有人能成为幸运儿呢？这是因为参与的人数是极其巨大的，人们总是抱著撞大运的心理去参加。孰不知，彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富。一般情况下，彩票发行者只拿出回收的全部彩金的45%作为奖金返还，这意味著无论奖金的比例如何分配，无论彩票的销售总量是多少，彩民平均付出的1元钱只能赢得0.45元的回报。从这个平均值出发，这个游戏是绝对不划算的。
1 A% S6 d7 {; i. i1 ^' C! k( V e8 u8 S" V0 _' V
概率：直觉易出错6 l- t: A5 J5 q2 I- W
在社会和自然界中，我们可以把事件发生的情况分为三大类：在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。在数学上，我们把随机事件产生的可能性称为概率。严格说来，概率就是在同一条件下，发生某种事情可能性的大小。概率在英文中的名称为probability，意为可能性、或然性，因此，概率有时也称为或然率。
; z. x! i; G+ N! d% m" @* w- a' F/ j- Z& U$ f0 g
彩票是否中奖就是个典型的概率事件，但概率不仅仅出现在类似买彩票这样的Dubo或游戏中，在日常生活中，我们时时刻刻都要接触概率事件。比如，天气有可能是晴、阴、下雨或刮风，天气预报其实是一种概率大小的预报；又如，今天某条高速公路上有可能发生车祸，也有可能不发生车祸；今天出门坐公交车，车上有可能有小偷，也有可能没有小偷。这些都是无法确定的概率事件。
+ o( I( u0 q( U" l7 s7 P4 O* v* j& P; ^7 T9 b* V+ }
由于在日常生活中经常碰到概率问题，所以即使人们不懂得如何计算概率，经验和直觉也能帮助他们作出判断。但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会错得离谱。举一个有趣的小例子：给你一张美女照片，让你猜猜她是模特还是售货员？很多人都会猜前者。实际上，模特的数量比售货员的数量要少得多，所以，从概率上说这种判断是不明智的。
2 q: B8 [/ C5 d9 J @! i4 _
% ^, [5 e$ m6 t0 ~0 c; B | 其实，上面所说的彩票问题也反映了人们对概率自以为是的直觉是多么靠不住。人们在购买彩票时总是只看到那些中了大奖的故事，而不愿去考虑中大奖其实是个最典型的小概率事件，其概率低到根本不值得去买。数学专家认为，概率低于1/1000，就可以忽略不计了，而大英帝国彩票中特等奖的概率只有一千四百万分之一，即使是选号范围小一些的彩票，中到特等奖的概率一般也要五百万分之一，这样小的概率居然还有这么多人趋之若鹜。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。& b ^" B! A6 {6 D; }
9 i6 @+ u/ Q& I' N4 i. {1 ~3 ~' a, ~
人们在直觉上常犯的概率错误还有对飞机失事事件。也许出于对在天上飞的飞机本能的恐惧心理，也许是媒体对飞机失事的过多渲染，人们对飞机的安全性总是多一份担心。但是，据统计，飞机旅行是目前世界上最安全的交通工具，它绝少发生重大事故，造成多人伤亡的事故率约为三百万分之一。假如你每天坐一次飞机，这样飞上8200年，你才有可能会不幸遇到一次飞行事故，三百万分之一的事故概率，说明飞机这种交通工具是最安全的，它甚至比走路和骑自行车都要安全。
, j- _: O2 U1 m( E, r. v' ]
0 k( o) G5 i% s9 x# Y; X 事实也证明了在目前的交通工具中飞机失事的概率最低。1998年，全世界的航空公司共飞行1800万个喷气机航班，共运送约13亿人，而失事仅10 次。而仅仅美国一个国家，在半年内其公路死亡人数就曾达到21000名，约为自40年前有喷气客机以来全世界所有喷气机事故死亡人数的总和。虽然人们在坐飞机时总有些恐惧感，而坐汽车时却非常安心，但从统计概率的角度来讲，最需要防患于未然的，却恰恰是我们信赖的汽车。
+ _2 l' ]% a# ]& w8 e
3 ~6 C+ a# |' F" `" C% N 随意的估算也不准
/ P; P: O# e0 | 不断地抛一枚硬币，当它落到地上时，出现正、反面次数相同的概率是多少？很多人都会以为随著抛硬币次数的增加，正、反面出现次数相同的概率也在递增，但这个想法错了。恰恰相反，其概率随著抛硬币次数的增加在递减。抛2次时出现正反两面各1次的概率是50%，抛6次时出现正反两面各3次的概率是 31.25%，抛10次时出现正反两面各5次的概率是24.61%，抛100次时出现正反两面各50次的概率只有大约8%(当然，随著抛的次数增加，正、反面出现的次数非常接近，就是难以做到完全相同)。这说明，面对一个貌似简单的概率问题时，我们如果随意估算，轻易下结论，可能与实际情况恰好南辕北辙。
3 `( s' I/ @2 x l, }5 ~& G% _$ O, P
我们来看一个经典的生日概率问题。以1年365天计(不考虑闰年因素)，你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同，那么需要多少人？大家不难得到结果，366人，只要人数超过365人，必然会有人生日相同。但如果一个班有50个人，他们中间有人生日相同的概率是多少？你可能想，大概20%～30%，错，有97%的可能！+ I! l7 g& O/ |$ \; } s
' N- ?- G1 i* ~) L. a0 M/ k- x
它的计算方式是这样的：
, a {6 x) [( i" m. C, g a、50个人可能的生日组合是365×365×365×……×365(共50个)个；. I5 W f6 x; [* `; |
b、50个人生日都不重复的组合是365×364×363×……×316(共50个)个；4 K" }6 ?8 D5 ?& \" S l7 c& @& \4 o
c、50个人生日有重复的概率是1-b/a。( C4 N6 G6 g; g, X8 [( C3 ]
这里，50个人生日全不相同的概率是b/a=0.03，因此50个人生日有重复的概率是1-0.03＝0.97，即97%。! I; L& T3 q0 Y* z
根据概率公式计算，只要有23人在一起，其中两人生日相同的概率就达到51%！
( t3 N# b: b! T/ l! w 但是，如果换一个角度，要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%，你最少要遇到253人才成。- E$ m/ D9 m8 S# k- X
. V( \0 G, G* M* j1 A2 x 再来看一个常见的抽奖例子。参加抽奖，当然人人都会想得奖，这时候该先抽奖还是后抽，才能让中奖机率提高呢？
# H8 ]: K+ j8 ]: @- ?- K( o; O9 I# V5 n4 h% X2 @; H0 `5 c( V
恐怕很多人都会在这个问题上犯糊涂，让我们用科学方法解决这个问题吧。假设有二个酸苹果、一个甜苹果，甲乙丙依次从箱中摸出一个，谁最有机会吃到甜苹果呢？首先，甲的机会是三摸一，所以甲摸到甜苹果的概率是1/3。乙的机会如何呢？甲没有摸到的概率是2/3，然后在这个概率中计算乙摸到的概率：(2 /3)×（1/2)(只剩2个苹果让乙摸)=1/3，所以乙摸到甜苹果的机率是1/3。丙呢？丙只有在甲、乙都没有摸到的情况下才可能摸到甜苹果，所以扣掉甲、乙摸中的概率，就是丙的机会大小了，其概率是1-(1/3)-(1/3)=1/3。
( _, U8 d- w' i1 A o: j0 x
7 M5 {; G6 O, \( w* E 明白了吗？不管先摸也好，后摸也罢，每个人摸到甜苹果的机会其实都是一样的。& A$ E; k/ V' D2 V9 r4 z* T0 G
3 g: h+ X2 p$ K- I
从Dubo中发展的概率理论- x& t! d' l f# _' @5 K5 G
既然一个事件的概率凭感觉随便估计总是容易出错，而概率又与人类生活息息相关，那人们就得严肃对待概率问题了。 |
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