随机赛程的最佳策略

引言

  |+ h5 L1 e' V. f7 `" K9 ]在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

% z  J" [& _  }/ ^
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
% x6 s" R, Y9 J
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

2 M: a1 {3 e' K* Y( r1 i本文

3 {% y2 g$ m. D4 ~. y% s; ~
  |9 c. k, q7 ~" h# E/ N& w问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
5 E1 _6 c# \- t# _3 n: }3 t
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
; ^1 u9 V! A1 B  l) G/ }! R2 N
* b) R' a  w3 y& }. p4 L1 n$ U
& C  }: i+ p2 q; d, S* R方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
/ @3 _( i$ e. h: Z方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
2 W! ?) L9 b1 s* l' y6 k方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
& G# X. y, r0 W+ ?- z& U2 b$ Q, i5 B你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
6 |9 P2 a* I8 t0 t; L
" R- w  K$ ?4 i1 ?6 z首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

$ L. \. ]% d, q& Q! y0 V++,
6 q7 n  Z, o: X5 Z/ j& x# s. a+-++,-+++,
, b, j& n% A" A+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

2 m4 m1 F- r4 s



* b- }2 L; z9 o2 x4 h% T6 t$ j



4 K% G. E8 c- e$ B9 J: _$ \8 w: T
! V7 V1 m7 V5 D* w$ i2 J现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

- q" f$ [) G3 m9 K++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
, k8 H. Y, g  ?8 i7 D                                 
+ f( D+ a$ L" w3 k, ,
/ G, A$ J/ h8 Z3 v9 w" D+ W" J) f                                                                                。
/ P$ G* I! P% x
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
0 ^4 t6 f* j; f- e3 y1 k# w# k

: U1 @2 ?+ j7 P9 F# [% o

5 c" D& H+ g$ L5 E  d2 u9 R" m3 b1 X
- ^" G. P/ v" i6 n8 K

2 U( y4 Y! `% L0 `
! F7 Q; f. l* Q0 W. H3 R4 O最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
% O, h+ g$ C+ e0 ^% Y
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
5 O  T  y2 j3 e9 m0 d8 S
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
& d9 d* I* a) V

情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
& |- C: }& u+ ~) r/ Q此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
$ m* [6 ^2 K% }4 j  ]: u
3 W( e/ b" T, F6 \+ Q: i( p情况三：
5 Y; O/ L, \, k( L, N此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
3 I% }' D% o- t' G
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
  I5 U8 V4 u) d; H7 b' `4 X/ E. a
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

% L& I, {0 g4 C6 V- U- Q如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
0 W' B9 x' u0 G" y
9 |" G% l$ ~  F9 }) R5 ~, C9 \1 a
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
6 u' S3 k1 l& k& ^
# ^: r( p. I  E6 U
8 |) T1 x+ f/ u* ?/ c% b0 j

. r& n6 L! q9 O  l* ^, v4 u1 p

2 |9 g+ l, q: C这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

# R7 H7 S' }' |% p1 U情况二：  
/ w* @- y  D: P! f令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
0 h( T) N  l, J4 M

; x5 T& \3 u% v4 p- D% {

6 b3 e- o- w: C2 A- t/ n0 p7 ~

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
1 k" q9 [3 Z+ S* ?2 K



; F: q5 y, s4 v4 {, h; p

两边相加，并利用 、，得
$ o8 v! a1 T, A1 b  j5 e

$ Z( Q7 N3 x& x1 [
- k0 G9 I# f, {4 N6 b# Y


若取前 c 项相加，则得


: o# _6 ^& v/ z  E  k3 j# E
. f1 c* L% n" _5 N7 p& g


( }; _0 q9 B0 ]  H$ |- I情况三：  
仿二之解法，可求得
6 F8 c% V: T/ _. G

6 T$ y; P2 H4 R/ T
2 k4 \3 B# v* H. j: G

- K& X$ U1 y8 K/ {% K' \

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
) }8 `1 i+ o! _, p' R
" ^9 k5 V9 }! B( H5 ^2 t首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


4 i0 D8 b' d1 }+ d9 C定理：
7 B5 p' q" I; e3 t设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

; o. n+ G3 v7 O) H; }% E现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
3 x. W. I9 E% [
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
/ i2 G4 f7 g4 e9 [! E+ d
; x6 x0 ]4 X" G- u* s6 ?/ b" g8 k8 Z至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


2 B0 h! P# |* i9 g- R
: J6 k/ p) w! N7 l: }+ U' q

% f/ ?' }7 k: `  p+ K


其中  为所下注之金额。利用

8 W$ @  R5 T  e; ~8 b" n0 F: s- B
' Z, L2 U# i& j0 U0 g( s; h

: K$ N4 c7 E( g' N" h% d
1 T% C' F: m5 L+ T


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
$ b  r3 P5 \' e1 k5 u/ c
. H/ s) N5 `) p9 R
, N- @. B5 d! d" q2 \: m3 g2 X
% O  c. ]* }  Q8 I8 V" T5 c
5 n/ s2 p- L$ ~3 m. W
2 r9 t6 `- i) i  J6 D' K( y
+ L9 P8 |5 Y1 n( N3 F( b$ T6 V

因此可得在情况二， 时，


# W! W8 M  ~& F

; ~; i, C4 C# a# k2 [& e$ H

& q( K! N0 _8 l7 |# e

) w+ M. `) V. K+ V0 H而在情况三， 时，
$ n/ _% n* W* p


  D% d; b. y# h0 }


5 _9 L- ~4 @( G7 Z) ^1 J
" _2 x# c9 C" {0 j& D
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
3 |; q- ^' y# c( B& L
' ?; Y  k2 r& c- b. }, [7 ^5 I( u至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

/ E# W4 l; o& `8 Y8 O) y0 K0 Y附录

$ _% A' R2 L) q- m' S$ ^
! m9 t; g7 t8 E' _, U$ Y在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

2 q: N1 C; R7 I( n


3 P* v/ i/ d4 z9 W* K# I0 ]# N



另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！