随机赛程的最佳策略

引言
4 Z2 z+ k, R. ?! M# Q! W! m2 p3 j
% R3 L, m$ s( s( B1 J3 g在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

) M3 }+ H9 I2 D+ A& a4 u7 z问题

6 A; G3 V5 h, z9 L1 o4 M, P
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
9 l. A9 M' L* q+ \" x- z
* L) G  `: u5 o9 z本文


& U6 Z/ v! w4 L  H3 o, [% n问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
; ]7 r& g' ~! \/ J4 S  t! M
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

) m1 E# e5 T* j2 P
1 }/ E/ \" [& p+ A方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
. t' T$ T/ I- T方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
$ Q- H$ o+ |" @5 G3 L& D& u你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
. Q! W( E" l* P2 j  o
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! S; B8 I' i7 _! D
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为




1 M, W# `' y) g5 D4 G5 S: K


" \, t3 E" H- J2 K

/ y9 W; G& n' A+ q7 v
' V3 U" @3 P9 o9 s7 L现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
" X/ K( f/ _$ x' w$ J+ c) j7 H
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
( t, O4 t, U' i" I) C, U, Q- G                                 
- ^( R2 y' z8 r! }1 M; F, ,
                                                                                。
/ N) Y! b. a8 \1 T, Y4 x9 Z
" A$ }  S' W7 E3 x6 I仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
8 v9 f9 r) ?# M0 n
9 l* Q, d7 \  x4 h; Z9 y



5 A' t$ r3 Y- C" L
* ^7 v$ r7 f: c7 W

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
7 i. D% Q4 m/ o* S
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

8 W/ `% l. G) u1 c- _! t; v这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

( p0 Q+ o: f$ h5 Z, L现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
, s) e! @. p: d* F# t+ [
+ R* ?( f8 S7 v( V
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

7 q: W( k; W0 a' T情况二：  
& {4 }; j5 X$ p6 G% }- I此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

: }! V4 F' B, u$ ~3 Y- S1 h情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
" a# }2 L, a9 t6 c9 A
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

* u- K& z! {. Z/ t由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
$ V% [! @+ [7 G
3 v& a, b4 @3 |) Q) C如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
7 y, L4 E" N4 P  I6 T! n- E

( p6 U8 Z5 _2 U  Y$ v7 _情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
" y0 j' w( _7 u3 {
4 q/ ]6 K% R; n% C( R' _) k

9 t2 G( L8 ?6 k+ H: N7 }

# [8 i! U2 k& C! X
- P; Z1 O) t8 o* J! P这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

, m6 C5 p: K, r1 I情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
- e9 Z0 F+ E7 F) J% q




( E6 l7 h8 P& c3 w7 B
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

+ P6 r7 e4 I) k2 G
! b0 i% L* O$ Z! j



两边相加，并利用 、，得

: j. ^" `; X0 @

2 N# E* e5 c1 b
  n( c, T/ P3 ^' [# z6 q

若取前 c 项相加，则得
8 ~" u! x. W  K4 Z- a
3 ]. w2 N9 d1 {3 G4 d; U
7 b$ `* N  C2 \; Q) a
' \% ~, y/ A3 r9 U  y/ r


情况三：  
  s* I, ^5 M. A( v( f' J仿二之解法，可求得
: |8 ?4 W- ]. n/ U
3 Y5 r! n# o2 ^! ]
! v: d. W9 O3 W3 u8 _

- I9 l; M: g& l- J8 p/ v/ j/ i


7 a/ U4 r0 S+ X$ q5 N" S保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
% V/ V( j  j/ ]7 U5 R! J4 U
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
9 e* W1 U0 C1 Z5 K/ ^# A" B设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
, W' }- _: \! k
: k1 Q2 Y& T% z4 O现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
8 A% C6 X  m9 P0 Y1 |
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

( [+ p& h5 l& T6 |- t5 `; \1 I1 e/ Y至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

' N0 `# ?4 O; W+ s- O2 L" Z0 P9 e


+ e  g# P9 u* o( H8 v8 z& }' O
. @  C0 \" Q' ^, u
' r1 ^0 r9 ~- H' K
8 N" y; T: q5 J+ w" t' j
+ K- z9 ?4 K+ Q) W, T) ~% @其中  为所下注之金额。利用
- B! @/ J! S0 o/ _, f$ T7 _
( c* R( ^7 s7 p! f; E
' }1 t& b: e8 M4 R) U! o4 s

  K' x3 d7 Q- w5 x' V
  h0 Y8 u6 r+ u) H7 b4 a

* A" [) X* [; l8 ~+ N
4 n3 J8 h9 P: |可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

# {( t- f3 g' d/ h2 a; D
+ t7 ?! T" }, S

3 e% q$ S$ @" y1 F- x
0 ^' @7 ~0 c8 m2 H+ {6 d5 @
+ T9 }5 j- w  u$ u
' j: J9 O7 e* A% u. h
7 G  P. x5 X' P; L因此可得在情况二， 时，
4 ~0 W% U1 r. Y


2 c; g" G9 r% F  V' [; v/ I' a
. E5 d% q6 Z3 |- d- F$ c6 m
( g. `1 j& z( C' I3 p3 Y
' E7 z; k* }: \/ e, R7 Y0 t
& k% Q. g5 @! f- [
9 ?+ D1 f  ?8 V$ s) f而在情况三， 时，


: T/ N1 _- Q) \
: R3 s: f) c: N; W* f2 n

/ @9 e1 X. E  h7 g
, R  u9 u+ Z: G" Z5 ]
: j/ F1 B4 z* l' |- W4 P1 f
7 R% f4 v! r/ ~% j9 Q7 {1 c. v但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

+ S! f+ l0 t0 A7 G至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
9 D) u! F6 K2 w( ?# @$ ]
9 o# X" M: {. S  z4 ?! Q1 Y
5 p' g+ b* |. i/ N. H! C0 d



4 b$ T7 j& V2 R' X

& ^0 v6 w/ h- t1 \2 c: P另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！