随机赛程的最佳策略

引言
1 D8 p3 _3 q: A7 v9 F
! f9 f3 }% S6 d9 |! n  A: ]$ }在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
* O7 D1 ~5 h( o
+ j! \9 g8 b; c5 ~" h+ y2 u问题
6 l; Z; {9 M+ Y8 ?
9 E; p$ u! n% t/ {# x3 W
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
3 f) c! j7 X$ V4 g7 B- ^- q
! H6 b  o5 I+ w当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
+ w6 O- H2 _/ Y. |$ z. ?

/ w% q/ w: c3 m问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
& |/ T! O1 |& L* U
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
: `* d8 O# N" U! N* g9 Q/ x" h
) l0 O2 ^* z0 H: P$ ^  N
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
2 z# @8 W9 Z$ q方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

) W3 M/ g% C, ^5 W' d首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
  K0 o2 t' ?, o- Q9 q
++,
9 p8 _% N. e1 j# }3 D3 f, D4 G+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
* r' u- H7 b" t' }                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
$ m$ V( _$ T2 F, U& u) R
8 W) v* q+ Y; h/ ]" E+ a- M


8 R, V1 \# s1 g% k6 M( ~. t9 T- ?/ m





现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

  l% w1 {# b  Z5 m6 o8 q) C# E++,+-+,
( R  e+ _3 x/ H; R' ^& e-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
& h. T3 K5 G$ t. T-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
: m) g& X9 x1 j* e2 o: Q                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


( y* p% C! a2 r5 c( i/ k
) l8 A! E2 j+ n7 k

/ r: l$ M0 [4 G# }


& v+ \. a5 ~; q3 q+ F3 v最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

5 L  t  O+ B5 ^6 z) S* |  z这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
; E& g8 E  @# `" l: X7 o- y

情况一：  
; s# [: f. {( Q0 \- \$ L" _# ^+ k此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

2 w: d" B, ~. D5 W情况二：  
* B7 {, Z; i( J+ i& ?3 G- b2 `/ @7 H此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
) {* d0 _  }8 E: _
情况三：
& m# v- x6 }) y  t此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

0 k+ I/ q# Y% c6 l如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


* e! k# W: A6 ]情况一：  
& s0 N, y- Y7 {4 a3 @假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
4 v- H' G8 l* b

! I9 K  W) x0 E0 C  w


$ e9 F) y7 M6 P& B, d. ?
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; V: D1 I  B2 g$ G- E7 S
9 u0 f* z# @% ^! u+ u情况二：  
" U; g: S. g0 w6 o3 M: l3 b# P0 x1 L4 h令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

- X( `% b! j8 v" x
0 U0 N( i8 f! U- R/ k- A



: [( o* [+ _# w* k这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


. M8 F7 y! o5 `- S

( M" t  D3 {4 D- y6 |; b+ v- h' V

- T3 ~$ L' x, ~# I1 k" e1 L; t两边相加，并利用 、，得
, y, K/ x% I, |% P* U5 Z
( t$ y. i9 V- D% b; X3 ~


0 R: ?# p8 c( ?1 V

- z6 l0 ^9 ], Z若取前 c 项相加，则得



" D3 j% \% N! q4 x; M

0 ~" o2 l/ t' v
0 q/ ^0 j7 a# A情况三：  
仿二之解法，可求得


; }0 C) z- t( e! \$ G


# N$ K6 V/ {* K& K1 a

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


9 l( \3 N5 k$ S( O  [' A定理：
. T' [) I# d4 Q' j0 V1 _7 m3 |4 }设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

, w4 C3 Z4 ^2 u: P0 d- q首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
8 u, ~5 W4 B# I0 Y0 R& t6 B- F
) j7 _  U0 \/ P, I" K3 V& z至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

( a. z& z( G/ [$ ]+ u! n/ U! x% K2 {
2 P; W" H1 g. }/ |& z) a. A4 S$ G



7 s5 W! q  Q& `; L
& s1 W! ]( V8 s/ D
其中  为所下注之金额。利用

3 t6 W; {- w' `: v! F

! |1 R7 m  K( f1 Q

, |$ V/ Z6 W+ q- j- j
" ~7 U, ~4 ~( a/ \, z* S

. V3 A+ V& r9 ~1 g可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但





- q* Z; l$ C( K, G# L4 m
- ?3 r0 ?+ `2 d, K  ]1 w7 O

因此可得在情况二， 时，








而在情况三， 时，
& B6 \6 y. O/ b5 [

5 B3 T! f0 V% i! A( d
% G( i& o5 U' O0 J

# c  y& I* }0 T$ d- D5 r
% l4 |# i! b$ X& }

2 F1 J: h* g9 [" p; R! O* Y但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
4 ~7 w  T7 R/ c8 b1 d
  l! J3 i! b: l* |; S附录

. a$ A0 ?+ ]2 L+ h
/ g7 i+ P: n; ?% |+ {在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
; d; J0 A- ]. q) ?& u% L) }" |8 ^

! p9 J( F% [, M$ ]) `% {
# g+ H  U! _7 E" G$ ^, A
! ~1 ~9 t$ R, }& X* k6 z% i6 a
/ w/ N) ]1 A1 z% v3 P; m7 c& f

' F3 A3 m' V4 V9 Y! I- ~3 U
) l8 {9 ]& e( t8 L) N6 |2 n0 U另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。