随机赛程的最佳策略

引言
; w4 g( W) f; w0 A* U' B
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

0 a" {- M( Y) V问题


. ~! Y* X1 G5 G4 n9 V& R% D有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
" G, n4 J; w% j1 p- J6 t* V3 D
8 x. d5 X5 n: H7 V9 f当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
8 n; I  S: ]4 \, h* e8 r1 [6 c
本文

' T, S; ^5 Z) @8 X4 h* ?8 A  f4 H
& m: G/ V  ?/ [* s6 p问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
& p! h& j4 g0 u- h  f& f
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
$ q' Y3 t4 j- L6 z& U7 {
. n' Y& n, E. g4 F: s( u$ Z
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
7 ^; I5 ~8 B3 p/ r% A' s方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
* W$ g4 V0 S. T/ @你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

- H- H1 b' n* f5 {0 e, c首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
$ M- }& C2 y5 ]" G; r
++,
1 W5 ]" f1 q4 {, ~. y  Y5 G+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
) [6 X! C7 P* m3 M! E在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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6 R; o/ ~" e/ U# M


2 K# o) ?3 M. n  u$ T) A  G( K7 y4 ^
- [- F! s6 J/ G: Q5 z2 K3 ]% S) N

2 q4 o1 Y3 _' p( K3 G

% P# c& ^: [/ T  t
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
( x* P6 x5 ^% H# Q0 L- g% }2 X3 X/ {                                                                                。

0 d" B: J, B9 y! t$ ?仿上之计算，可得此时甲赢的机率为



/ a# |$ y. S' A$ N' N
1 z+ T) _& k) t2 n


" q: b  l$ S" H1 i9 C
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
  [. }$ F  b4 g5 ]+ S# R
" j1 w+ \# ?2 W" @, E* j5 x; t5 ]1 A- s现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
; j% N; w6 C1 e. q1 @. i+ d/ X
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
4 v. R, s* F% {3 W, ~  C此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

! Q; q+ t3 i* O' Q4 X( @情况二：  
0 D9 j/ V% g: a5 T* }" a/ p此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
( j3 S: x0 i0 s5 ]7 t1 t  Y- s
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
5 M9 u/ w  t7 K2 \
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
" i0 |# O+ G4 Q, m
4 W8 E& Q' z- N2 j9 v* _3 g6 [' P由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
/ H/ z# h% W! J" j& l

+ a  C  t5 J, T* Q4 s+ e


! p1 R+ q) C+ G8 N* |! f- `4 V1 f0 c
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 R  q2 F* r! q3 p  y
& c$ U) L0 R+ ]情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
% I, s+ q; j1 r4 Z


' \, ?) E6 \7 m7 V( t( E
, W! @/ L) Q+ g. V# f/ W8 z
( j* w' n$ }7 ^" G2 a* Y
6 C. `* j2 U& \, u; R: b( T8 j这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ O3 u- U  m" g9 R利用p+q=1，上组方程式可改写为

% B8 C$ O. [% \4 D  U8 |5 d3 k( }


, d4 x  o8 q( L- s

两边相加，并利用 、，得




, j% `/ F8 Y2 ?) y9 U) B
& K9 `6 |& b- P( d9 R
若取前 c 项相加，则得
- s9 x& M2 S8 C" F; c1 Z

, E( |; s6 @, T5 t7 q) o: r, N+ Z0 |
* H0 O9 ?6 d* g+ C& ^
$ X' N6 T% m! _0 D2 _+ Y

情况三：  
! q9 \8 x4 t" r1 Q* G仿二之解法，可求得
4 [9 c+ T( S5 ~/ b
: L* B$ p" K# j$ n

; C2 p2 v9 s) b! M# A# f
9 O  ]8 ^* C# \7 _+ Q; U
% I$ I/ F: Q. }$ E1 c3 h5 @
& B$ r3 o. {8 ]1 k  w% f" N
9 \- r+ a" v% Z保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
* A6 ~) {0 ]9 A/ h/ g/ }. _4 e
( ^: Q! k" e3 m' a8 r0 y, a: {+ A5 S首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 i, j0 C/ g0 o* K8 o
) S4 i, b% d3 a. S
定理：
; H) J1 H" L+ i4 a设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
% X3 _, y) l( Y9 h
, G5 ?2 i6 i& W& ~9 W5 Z现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
* |# j3 S* A6 c  M7 ]: u7 |

8 s/ C2 v: N1 Z: t/ k: B


* y4 C& U8 N$ `! q, G
. Y" L7 {8 i+ D6 e
( a4 ~. a6 V( y) D0 {: r6 T
其中  为所下注之金额。利用

: ^) {5 g) q% e


, d& g; w4 [: I+ O3 Q
: }0 k! A8 L+ Y! p0 K


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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: t  D1 R: B: P2 F: ~  @

* d0 s" a$ ~3 d/ d' J
# ^$ S4 q0 T# o. D5 m; E
" C9 z; x6 j  _6 u) |* o

因此可得在情况二， 时，

* x3 K  K; i- K4 Z
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6 @6 @% e6 N5 T1 J9 d


而在情况三， 时，
% x7 ~2 d4 G3 X4 A8 [8 ~" B


. l7 y$ E1 J6 D
* Z5 @! H: _% D2 F& D( V5 ~( |1 V& b

; F0 D2 R6 r# d" }7 ?2 V; H

2 L, `( Q; l2 |4 f5 m' ~但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
# E( X& i  s1 C6 G# v: V
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
  {  x/ b! o# w+ [& M+ f+ ]* s2 h

; ]( p7 M8 ^( S2 V+ P0 p0 X4 T在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
( Q/ U; V4 h6 w4 v( U3 H/ {; C! F

% h" P. A$ Z- @




7 e3 b# C6 b3 }" m
" O# P& e6 V$ Z( h" y& V+ |3 D另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。