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引言
; w4 g( W) f; w0 A* U' B* ?4 ?4 e* ]5 \1 x, p0 b, Q; T
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 0 d0 x1 o. x4 s

0 a" {- M( Y) V问题 ( o& `+ A; A# q. g4 O7 j. q2 T
; ~1 J& e8 ^' T+ X, c, _6 ^  T

. ~! Y* X1 G5 G4 n9 V& R% D有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
" G, n4 J; w% j1 p- J6 t* V3 D
8 x. d5 X5 n: H7 V9 f当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文 0 p3 M- W2 D( e3 s

' T, S; ^5 Z) @8 X4 h* ?8 A  f4 H
& m: G/ V  ?/ [* s6 p问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
& p! h& j4 g0 u- h  f& f- M. q( e: H: @8 B7 r8 |2 w- R
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
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. n' Y& n, E. g4 F: s( u$ Z% D4 K0 m% b+ O9 u/ v1 I2 x- k0 e
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
7 ^; I5 ~8 B3 p/ r% A' s方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)   T( L/ [0 u9 P, ]% T- x, U+ [* c
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
* W$ g4 V0 S. T/ @你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 % C2 `' U' \/ L2 Q- p* Y+ Q0 {2 l

- H- H1 b' n* f5 {0 e, c首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
$ M- }& C2 y5 ]" G; r: l8 R+ c. N3 L1 |4 Y# _( H
++,
1 W5 ]" f1 q4 {, ~. y  Y5 G+-++,-+++, - S$ }# I# ]1 Z
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, & c7 M' R7 a: L
                                                                                                。
) [6 X! C7 P* m3 M! E在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
7 ]# i7 S% y0 c1 M- I
6 R; o/ ~" e/ U# M5 l) H" ]" W5 |* @% Y% L% r- a+ n
6 n3 J9 ^! d* g+ S4 ~& t4 C

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- [- F! s6 J/ G: Q5 z2 K3 ]% S) N! D1 h; G5 c+ ]7 G1 v& S

2 q4 o1 Y3 _' p( K3 G) K6 z2 s- n* X0 m, [+ C( J* t/ Q: D0 h

% P# c& ^: [/ T  t8 J  D5 C4 P% }2 h- k1 n) }
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 ) q; o' a- c$ S) n3 P2 y+ p
6 S* Q3 q# P# K# N( i
++,+-+, - i1 S& w; C6 j' L/ r0 I
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) & _( R  y& q0 k4 e2 D( V7 B
-+-+++,-+-++-+, - k7 x1 ?- R, I+ \4 R; |
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( x* P6 x5 ^% H# Q0 L- g% }2 X3 X/ {                                                                                。 6 f% `$ O1 t: P/ `, O

0 d" B: J, B9 y! t$ ?仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 ; B0 P5 N+ o: X
' i- i3 ?% m; k. C& s+ c1 z
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1 z+ T) _& k) t2 n5 x; _6 F5 a9 l
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" q: b  l$ S" H1 i9 C& y6 V7 w+ u5 d: P- K; T
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
  [. }$ F  b4 g5 ]+ S# R
" j1 w+ \# ?2 W" @, E* j5 x; t5 ]1 A- s现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 & i/ [/ a) P4 G7 J
9 m+ z5 S/ n7 l3 u
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
; j% N; w6 C1 e. q1 @. i+ d/ X% q; X" |; V( W; }
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 ; |3 p2 z$ Z/ k
5 T4 x  S+ U  g/ }
0 e& F2 e) t: A4 W3 J
情况一:  
4 v. R, s* F% {3 W, ~  C此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 8 l/ v3 @. y7 Y1 D* u. v* p5 g

! Q; q+ t3 i* O' Q4 X( @情况二:  
0 D9 j/ V% g: a5 T* }" a/ p此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
( j3 S: x0 i0 s5 ]7 t1 t  Y- s1 T" ]4 `7 Q# \- R7 o' \1 \; L& o7 p1 l
情况三: + K) V. `/ h0 y' h: w
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
5 M9 u/ w  t7 K2 \/ `5 k* J- {2 g, d3 D) s/ h( t
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
" i0 |# O+ G4 Q, m
4 W8 E& Q' z- N2 j9 v* _3 g6 [' P由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 6 J2 r( J% ?- ]0 m: u* f! _
& U$ C* B5 Z9 I  ]0 q+ k! l0 ^
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 6 A7 v0 i7 u& Q1 a9 q) [: i" t
; i; m. o' g! f6 r
6 G1 ]: e% x& r% a1 r. ?
情况一:  . G, s/ K/ K. J! O1 Z" L
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
/ H/ z# h% W! J" j& l& L# K$ i; E9 z: j1 I

+ a  C  t5 J, T* Q4 s+ e7 H: \; T! X; E+ e: e/ R
: s2 I/ ]9 b3 j. f/ I+ c, J# v

! p1 R+ q) C+ G8 N* |! f- `4 V1 f0 c" v7 d: Q7 q+ {6 K8 P0 {  x
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 R  q2 F* r! q3 p  y
& c$ U) L0 R+ ]情况二:  , ]( x0 j% ]! s
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
% I, s+ q; j1 r4 Z  X, C& c% s! X0 o# `9 N/ o
2 ^" W! `6 n; l6 ^' {1 [

' \, ?) E6 \7 m7 V( t( E
, W! @/ L) Q+ g. V# f/ W8 z
( j* w' n$ }7 ^" G2 a* Y
6 C. `* j2 U& \, u; R: b( T8 j这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
/ O3 u- U  m" g9 R利用p+q=1,上组方程式可改写为 3 }- S! _( T9 R2 g" u5 j

% B8 C$ O. [% \4 D  U8 |5 d3 k( }0 t9 F! ^# m" a" S
, B) p; p- Z# Q2 v' A. D% d8 i

, d4 x  o8 q( L- s. Z+ N1 x: I$ S6 L5 I5 B5 g
; i/ u3 }* Q( Y' n% B% t" ?
两边相加,并利用 、,得 - v- y1 p' k! w6 o
% r+ C, i0 m2 Y0 g1 w- J
1 N2 p1 T$ o- O. T/ U* h; G6 t
; z6 b+ s: y' d1 [7 Q

, j% `/ F8 Y2 ?) y9 U) B
& K9 `6 |& b- P( d9 R% R3 j! v+ b  z1 n
若取前 c 项相加,则得
- s9 x& M2 S8 C" F; c1 Z9 _& R: x( W: u3 b9 O( B9 e

, E( |; s6 @, T5 t7 q) o: r, N+ Z0 |
* H0 O9 ?6 d* g+ C& ^
$ X' N6 T% m! _0 D2 _+ Y  D3 q. @: m+ d7 z2 Y5 [3 w2 `
' e4 @- p5 d/ F
情况三:  
! q9 \8 x4 t" r1 Q* G仿二之解法,可求得
4 [9 c+ T( S5 ~/ b
: L* B$ p" K# j$ n9 p$ d8 k" w( _5 k% l6 K

; C2 p2 v9 s) b! M# A# f
9 O  ]8 ^* C# \7 _+ Q; U
% I$ I/ F: Q. }$ E1 c3 h5 @
& B$ r3 o. {8 ]1 k  w% f" N
9 \- r+ a" v% Z保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
* A6 ~) {0 ]9 A/ h/ g/ }. _4 e
( ^: Q! k" e3 m' a8 r0 y, a: {+ A5 S首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 i, j0 C/ g0 o* K8 o
) S4 i, b% d3 a. S* B" A. M0 @. M. n& |/ X3 e. W
定理:
; H) J1 H" L+ i4 a设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 " N3 V, q  l1 `* |
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
% X3 _, y) l( Y9 h
, G5 ?2 i6 i& W& ~9 W5 Z现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 6 O- O: d9 o" f+ p
. r( }  _3 j9 v' n0 X" r8 T* m
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 5 ~, {" G! W+ F$ |
6 P+ ?: O7 r8 R* o
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
* |# j3 S* A6 c  M7 ]: u7 |7 ~9 [0 F; m* y1 O

8 s/ C2 v: N1 Z: t/ k: B- c8 q( C0 l, w- @9 a9 l3 l9 ~
2 |. C3 }) O) f( ~# v% e

* y4 C& U8 N$ `! q, G
. Y" L7 {8 i+ D6 e
( a4 ~. a6 V( y) D0 {: r6 T; m2 k# z2 I: k3 S
其中  为所下注之金额。利用 . ^2 j+ H$ j* E1 @

: ^) {5 g) q% e; w9 |. _) \9 c( y: R/ h$ R) Z
- i2 j& ?4 x' J

, d& g; w4 [: I+ O3 Q
: }0 k! A8 L+ Y! p0 K& L0 L% N6 E$ n% m! D9 m0 c4 a
2 ^- a& G' z2 m- n, s) W
4 E; {7 E) ?: e& j$ C: L: r; {; ?
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 # C. J; f+ x* J  `, P) M

9 Z# k+ Q/ Y# ^  e8 y
: t  D1 R: B: P2 F: ~  @: F( H  e' Q/ ]( x5 b

* d0 s" a$ ~3 d/ d' J
# ^$ S4 q0 T# o. D5 m; E
" C9 z; x6 j  _6 u) |* o" J# k. u" j$ q5 e
! F( B7 N2 E+ e, C' X% |8 q
因此可得在情况二, 时, $ I' B; Y5 m5 E7 n; x# r/ K) c

* x3 K  K; i- K4 Z
' P) W- o+ e! S( b9 \- L- C! Z1 ]. Z2 `  K) s; ~& R$ N
) ^# T. }1 ]' _/ ^

6 @6 @% e6 N5 T1 J9 d1 E% ~2 o5 s3 q6 w& b
/ u3 b! H7 p+ v) b7 u: ^0 }. V4 J
; @$ I$ k$ J: }4 n+ q
而在情况三, 时,
% x7 ~2 d4 G3 X4 A8 [8 ~" B  b3 I1 z+ D( T% g5 H% {
2 |; P1 I0 b4 a1 R, U7 m3 ~

. l7 y$ E1 J6 D
* Z5 @! H: _% D2 F& D( V5 ~( |1 V& b: y% M8 B" G  X+ P7 l/ P$ e

; F0 D2 R6 r# d" }7 ?2 V; H% \% j4 X$ b# E) c$ d5 w

2 L, `( Q; l2 |4 f5 m' ~但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
# E( X& i  s1 C6 G# v: V4 x* S" Z4 W% R/ \
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
' T4 c- c6 A. P+ v' g9 C' ~3 \  q4 X2 g! ]8 e5 w2 v6 p0 S8 d
附录
  {  x/ b! o# w+ [& M+ f+ ]* s2 h; L) B/ J1 s$ \2 G7 E6 T

; ]( p7 M8 ^( S2 V+ P0 p0 X4 T在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
( Q/ U; V4 h6 w4 v( U3 H/ {; C! F, Z' K1 o# Z: U, R

% h" P. A$ Z- @- O6 D; I$ g) C' s# }5 M" X% u
9 c* o5 w* n# I  o7 ]+ _
6 C% s# e$ M0 t
0 j* }3 J8 |! \0 X, Q" g

7 e3 b# C6 b3 }" m
" O# P& e6 V$ Z( h" y& V+ |3 D另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
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6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
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4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
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3#
好文章,学习了.
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
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