随机赛程的最佳策略

引言

8 q7 @6 [2 k) b6 f; G7 o' ~在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题
4 [# R& C/ m( a: m7 k0 w. s

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
' c4 o- `4 o1 v9 A$ a! e7 I
0 m- ?& e2 I1 M- l' Q1 F) I" {当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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( p6 w+ a: [/ i; D/ t4 y本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
7 K$ q3 L) ~) W+ [方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
3 A0 e6 x- ^6 W. ], ]. j7 z4 q7 ?方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

1 q. ?& w( ~+ R( p$ ?2 F首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
- q+ i& C+ x" V7 K; u8 \0 T, B+-++,-+++,
7 a! }) D  Q4 s  W8 C- G7 Q+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


: J0 K+ `8 O' D& Z  G: Z

" x+ r: Q4 b2 f6 a, v- S4 U% ?
5 R% i  q* i2 ^# `6 T# y4 U! d


0 S6 Q; b) C) r: r% T% O
$ [; o& w! D: l8 b
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

, O1 c- d2 H  c) |! v! l. Y1 F++,+-+,
, |+ m) u1 g( t( M$ `7 z7 a-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
, }5 U, d- w+ ?/ `2 ?-+-+++,-+-++-+,
- A. b* k7 [# m8 Z  S                                 
. I- [- z; r9 z, ,
                                                                                。

. M6 B5 q5 T+ \仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
2 c$ O6 \8 m6 E' j


9 u. C% x. H) F0 ?6 @

  f: U) e2 |* z: R" b4 d
; X* x9 o* ?& x; o: Y. ~

1 P3 |9 E: X* |0 y/ @' w! P最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

6 P, a( K6 ]9 J- M% `( }& {& @; I- D现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

1 k& L0 p* a4 W; e3 r6 F这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

* ]4 G: a" K0 }/ z, z  b) {6 _现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


8 ]7 C% Y" J* u+ W情况一：  
: n6 P3 }7 d7 c( s此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
9 C% o9 F7 X; r/ [) A
情况二：  
/ q4 X: X. Q6 J1 S/ E此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

% E6 r! Q1 |3 D6 ]6 Y情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

( |* i6 ^* Z- Q- g1 Z2 C. t3 s现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

: X$ h& u; l& e6 F, ^6 p由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
; C- r, c7 @! G" c7 `
( G/ b5 N" a5 K+ y2 t$ U: w: j7 v8 G/ o如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
7 {9 f. x, d  J& f

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
$ r) r* N  T. e8 k# h! f* T+ A
- I; a" j+ K' _+ M' M

! y- O, J; ~) z& o

& i0 M' w6 k7 \7 ~2 W* f6 h' X2 Y
% }( D' ?' G) ]! {这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
% ^! K! Y# V- E5 b
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
4 t# f0 u, h3 |4 [
( C4 _+ q: H7 x4 e# M+ k

# |  A* {' Y$ Y! v
$ x0 j3 U, h# K3 Q

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
, I! Y7 e) R: R5 r% W6 |
8 R/ \% X/ a- N, J) E- }5 H


' K: S& y' `% s' ]
7 k5 g: a; E' n) X
两边相加，并利用 、，得
( h3 ^$ S2 B2 L4 ?


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: J: C5 P/ z+ Q* _0 z7 t& B# @
% H" T' ?% T( J' e; Z4 o
2 i0 C1 c' f( j' }  n) h$ @% ~/ W若取前 c 项相加，则得
  Q" _) p" B; }
5 m, x+ \) H; ]- z8 B
9 ?; |# r: S+ J/ z
; @# p! x' ^/ t& m) e2 p8 }7 G
3 q# v8 Q* ~' w( S7 t6 m# C- {' @- a
, P' O' a) D  m! _7 ~
情况三：  
仿二之解法，可求得


4 G& i" C8 b& y7 U2 |! A8 H0 O. e
+ V. Q6 K$ N! x( Z6 Q% C! D

3 I* o: R# w( F) q1 a  n
. G( [, c# m! O! ^3 |
8 y8 Y/ S; h0 m% S保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


1 V! T) M- ]; ^: x$ _定理：
( Y7 T8 p0 [) k8 T# h/ R设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
, A. i+ [! D+ p此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

8 h! _0 r+ ~# e' L. r/ K现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
0 M' Y5 Z1 l+ [/ O" t( n
) x) n8 q- l0 D8 z1 u% z3 f( t* R& Q首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
% A) J% m9 W& [+ D3 f. \0 L' Y2 B1 i9 P
3 l! ~+ }0 F' a. u至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


" |6 T3 f: H) x* j( U4 v% `7 s

! p* u, j3 B; I- d
+ I  l7 X! {( y# z% b$ C/ c* c
2 [3 {+ ]. [$ I' y% o, P  `

其中  为所下注之金额。利用
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, C2 l, `' I  d# h' T

1 a, b# F) l( H# T9 B& q# b$ J) |

+ d/ g/ Z) t  R& ]2 ]* m

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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6 o+ F- r2 b$ X# `# G$ }$ [
3 i/ W: i* t6 j7 O+ @2 q
0 v: k( [: I( R


3 d6 g5 n5 p  p. r因此可得在情况二， 时，
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7 b5 F; L) z8 g( ~/ D2 P



, I( L/ m, L3 W8 z而在情况三， 时，



5 t( r7 @/ h% g8 t: t


, E7 ~1 |! M- B( l! J4 k% r
& D" ~/ ^  t1 b7 B3 Q: l
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
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" ?# F, |1 E3 g$ `
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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$ t3 ^; u$ u4 G1 {& T. M6 d4 D
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$ x' B& P& r6 ~4 D' j另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！