随机赛程的最佳策略

引言

: W1 A& t# d$ o4 i* n  o6 N在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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: g! P1 ?. Z. Z8 @- `" I& ~问题
9 z: X* ^6 q5 |6 ]. a/ g- q
$ |4 l3 P$ z0 I6 |3 u
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

( j* |& t# P: ^当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
" b7 S3 [2 v: P  O
本文
1 z3 l- {) E+ u% d

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
9 L; `% H8 {0 g8 @* C! [你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
, ]" E2 N; m0 z) @+ G& ^; D
% f- r/ n  L; u2 B) ?  k' z首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
/ x% Y3 t' W" q- L* \
++,
+-++,-+++,
" M5 w6 b; O9 j1 _+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

* h- A( {2 r) U1 s; y2 j0 J



8 s* {+ h! t5 M4 {




6 \, ~2 A, U0 \现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
9 `: n9 W1 D1 }-+-+++,-+-++-+,
                                 
+ O0 x9 D/ t" {$ [$ a5 N5 f& D, ,
                                                                                。

6 g+ |! u5 ]3 G9 V. n$ p' N4 W( U仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
# I( q0 y' b* h
5 h% L; V- C; `. c7 s  o1 Y; z+ e
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7 C( \4 E8 b; V7 t& B' Z
( Y8 C+ F9 h* f8 t

5 j+ {" a. a9 r- t$ v* ^, |- V/ R+ t
% b; P6 `4 a* N# y
2 J$ \& p. T$ |最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
- ~; B) _, t$ [" t! m* p7 W$ G1 n; r% t
$ m. @4 B, Q: p0 d& l现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

/ [1 F6 \0 S. q- N* B( r现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

' m  v2 \- M- H9 X4 G. l% v
情况一：  
4 S5 ]' Y8 i; L8 i' R+ |此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
# b2 c' S  V( h0 b' M! U) l
9 g; j' }5 m$ n( r: N: F情况二：  
* Z" U) K. C9 g; m. F此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
, m# }3 b5 [' ]
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
$ X7 S& e4 i+ b) Q
5 e5 F8 u  {7 C3 l# n) Q- D2 J
情况一：  
$ Y8 \) \& }) x假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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2 [& ~  _* s$ r
0 f+ {+ s1 ~: o
0 t1 H/ [' Z9 A. y
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
% \3 D2 x1 N4 n  M( L- ], i6 [7 a
情况二：  
% |* L$ q# N1 v" P3 \3 @令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
' u. @) J# A; h( w& p
7 W% f- s) l7 p3 S. J( O


0 k& ^0 e1 m1 x$ ]( a
& r6 ^8 ?* p) v8 a9 `
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
( ~: j5 f8 O" U* g9 F7 ?/ J. g利用p+q=1，上组方程式可改写为
, {8 q  \! _1 E6 O# N

0 d  P+ G+ e2 P. E/ x



两边相加，并利用 、，得
; g$ O- D* q* z  H

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6 v- v" _- ?- C% @
  u) J- D9 Z+ P' c! ~' m
: L* M' |% V- ?若取前 c 项相加，则得
0 ~6 {7 g" ^( P) n, O9 N: a


  U, L; u) G6 ]

: a: u& h# x- [' C+ U4 C# F
# E# z% F6 s% _" x! h5 z- i情况三：  
仿二之解法，可求得
3 j+ u$ n3 R5 g4 [1 ?1 w

% }0 I; W$ k3 T2 n. F; ^* y0 }, g
: G" L2 W% S1 z2 o+ p' w: g. B& m7 D
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' N' I) q6 y' g6 Y7 C7 d/ U" n+ b
- P. a: i8 p. a0 X# w$ K保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
% L" a8 z5 A: j( N# V$ Q. }/ w
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
' B$ t/ P2 S' n5 z; P5 b
( ?( F( U9 N; O, [- Z* X
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
1 d' r+ A2 [7 ?9 }% s7 B此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
- D7 p4 `; ~% l+ s8 j
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



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$ m$ |$ O* F7 N

, B: h/ v. |; x
其中  为所下注之金额。利用
0 j  a$ l0 b: }- N
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% J  E! N- P9 M可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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( o2 m3 r3 d6 T& A因此可得在情况二， 时，
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而在情况三， 时，
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6 U2 [" a: ~: H3 t; ~9 U* o
6 Q+ J' Z1 k1 b3 ^" s2 A

* c/ }; N( f0 U/ ~' `# U但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

$ X: M4 p) c: A; ^至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

0 u& R5 T% Z1 [' C附录


8 h" J) [  [4 F1 C. H  q' \( f& \, Z在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
( ~3 F3 P/ [' `, U$ ^





: ]( R7 [& D7 `7 x2 F9 G
3 f0 ~$ E! b( @; r4 U, u) p
0 z5 B/ K5 z0 C5 }( D另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！