随机赛程的最佳策略

引言
" T9 y/ s4 `$ \! M( e: O
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

8 M, C5 @3 i, o/ _8 e3 U问题
8 Y) L; [9 [9 T) J  g, z  z

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
( ?2 v- u7 s" q% ^& h
) [& o: a9 n5 }2 @当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
# w3 J, H+ @; H7 x* U8 S1 e6 J% f

# H1 y$ B* l1 [+ ^问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
# u6 \9 ~. c$ X: u9 W
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

: X8 t: k; Q' Y. ~# Y$ ?
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
2 {, n, N2 U" q6 D8 E: I方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
( N( I& o2 S/ C" D: K
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
# d( |+ ~5 S9 ]7 F, n
5 l$ R! R$ ^/ J$ J. n- `- V9 h; }: O++,
/ R) ~" W- e' U5 Z2 m. O) q+-++,-+++,
8 S4 }' R& P. P6 ]' H+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
$ {/ C  Q0 ^- u6 n. S% a                                                                                                。
2 y  v% F+ E( |( z在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



6 N4 k6 n/ ]# N- H4 `





2 U: h& v/ s  _
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
% M$ U6 i9 `$ F3 ?8 R-+-+++,-+-++-+,
                                 
$ e1 o; Z1 O% R0 F& v* O, ,
                                                                                。
( z: G$ `# j) C5 I
7 }: t) [9 k: c) \  G3 r% y仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


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, H! V& K  D& n

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
! V7 |) A, l/ N' a$ i. W8 j8 k( |
+ @# x" I, \- }* Q% l; e  p4 w这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
. r& ^1 o2 _2 Y( d. U0 Z
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
3 I5 T" h& @& F& s
6 C1 H) G) K# S/ p" Y
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
4 G# n0 E7 e( j& L5 |
- q' T; m3 ]6 ?! D9 R情况二：  
3 v8 W$ X- ?7 x0 _- E5 e此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

+ @. h5 J$ y; X; m: F! \% R情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

# K; C; _3 R- R现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
& }. R& e& o/ {& y* l3 y/ j
& J* L# ?. T0 U由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
7 f6 f0 U  X) {, C" [. i, |
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

+ r6 O& _" @9 Y# G0 J
- w) t% g- C3 u; K! l) F
; y1 b( E' g5 e3 y" F


这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

, a0 s) h5 ^- _8 }& u0 ^; P) T情况二：  
; F% b2 J6 t" }! ^9 k% E! x* [; x$ R令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
7 X  e5 k+ ]: z, b
7 ?% ^1 u; @' l  C3 U; ]



0 l5 Y1 C) F; v% P" v- k& d6 s
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
. ]9 n6 U' ]; z





两边相加，并利用 、，得
' R+ {3 a5 m3 a) }6 Y5 V4 F
. I( p6 |8 a* b. o: ~$ d
: H0 W$ y1 @' a8 B! I: v- @8 T* X' X

% h& J0 \4 c2 g0 q" [* X

若取前 c 项相加，则得




# G3 H8 J0 P& D/ l0 e7 G* @. a5 F

/ S0 v: q  D9 n! j. F/ v, _情况三：  
仿二之解法，可求得
2 s! y1 q& H5 M8 q+ ]



+ {) ^, b1 z7 `
4 `- f9 z) l0 `! A8 L" i
" \6 w8 n# Q( J! }4 Y
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
$ G/ }/ P8 y! h  W: a+ p; f
' [# `9 J" k8 Q" b) m
5 Q7 s) N6 p) g( R定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
& t, a& F1 ^& P! r% O: |
+ t; ]0 r( S# P3 R  `3 g) K现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
( E* a" B$ J( J( s' d" W# U
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

7 h  [, `) M! R. m+ K  a至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
" c9 L3 q8 ]) n2 R7 @9 ~1 y& l, z, C
2 S, P+ ?7 w2 U. e  ~

5 E2 [% t; y4 A  o+ A' o1 O5 k5 d
$ L! s, `6 q" l0 o) u

% E/ D) M& L+ o! b# {
% a! w* B' \( \7 ?  a6 _
7 b) Z. G( L! L7 r$ C3 F其中  为所下注之金额。利用
( E0 h% ~7 p- b+ c- u: o2 T

  O/ t, z% X' u5 D4 l% l





( c0 O3 l) ]( b8 n8 O0 d可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
  q; u( Y% P. }; Y! n# Y! o


- g# C# y& L9 o0 q8 z- |4 F


  @) m3 Y# `4 A. D% r, o  l6 S

因此可得在情况二， 时，
* I) Q( @9 {7 t! ^% K) B: I- ]


7 Y! N' P3 o, W( B" {" j# B, _. W
  l7 C( y7 S; Q2 w0 v+ j7 X

+ A2 ^! o/ x+ j) m

而在情况三， 时，


8 X; v+ p* u2 c$ A2 }+ a% p) q+ ^

, |6 I' R/ \4 l- h" G/ T


) v$ M) g: j: q. P4 ?$ ^
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
; Q- Y& R, n, P2 k1 t5 @9 H

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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; y( c/ ]& P# }( _- m( f


% h  D9 e  V& n) F7 a

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。