随机赛程的最佳策略

引言

, q8 m( K% Q; m. `0 u6 Y8 e& y在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
) w( L, U3 {  L3 V, l
问题

4 w6 }8 r8 s8 w$ H7 I2 Q
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

8 p& G/ M: V2 q! M' q本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
2 m( @7 U( F, O* L" [  B9 r( ^

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
3 B5 O) R% q* O& E) B方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
1 m% v8 d$ E5 p0 {/ b$ c方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
. m9 o$ C& a0 V/ {- l7 ~" K你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
) s. s7 o. L2 a6 v; U+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
. ?! |6 l/ c  E0 A1 j在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
* a7 S! _. F' d. V+ ]  Q


5 l( j- v$ X# b7 Z* m& U2 `, ~; }6 I


5 s/ c- t  i  L7 w4 J

4 p. {- @' S9 v4 _* k8 ]
7 ]* z6 q* s  b6 B- a5 K
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

+ s3 L+ U2 [9 ?* d++,+-+,
/ \4 F; J, g8 G9 G. D-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
0 g! S5 g! l4 O. ]- e6 A, ,
                                                                                。
7 t/ j! M+ @$ H, F
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
4 n% J7 z, d, S) a/ M# X/ t6 p2 o

% G# y3 o, l1 @3 M! u





! u, t; W9 e) ^最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
8 q  h# c! ^- A* y
+ |# |# r2 K9 y5 Z, S5 i现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
, V5 V$ \7 [5 X% ?2 n0 W1 y
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

2 r! m" i2 T4 ]现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
3 Y4 U$ [* a, @! I+ t  o- G4 {此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

+ s8 w+ @3 J" x: e; A; P情况二：  
% }, x  H" M2 f0 ~( N此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
$ a6 M, r- n. o* w  F8 A
+ v5 B6 q) A) ]; C0 c情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

1 B/ |! Y5 P. z# R* z由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
+ I" _* n$ [/ K' b" k

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




# B0 U2 _5 w( C

& g' s* l, Z$ j1 ?; _+ N' s这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
2 P, j9 e  E& a- |2 T# f
) q/ u  }$ M$ {情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
/ y( z1 a+ W8 A
! E! Y% F) ^6 L3 G
2 ?! o6 @! O8 W6 d4 W: y+ ]



" D1 B3 W; {& ~这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
  a6 ?" d' h3 J5 Q2 w

; w/ G0 Y+ G; A& ~! M9 L% t, t+ _



# i  s0 H# }  \1 P两边相加，并利用 、，得
9 Z: @$ j  u" n% L7 s, Q



0 w. p+ H6 b, x4 _. E

若取前 c 项相加，则得

9 U3 J- G' L4 U! [3 ?
6 l- \  \# v: d  K) I' ~; O

3 H8 _+ H0 m6 I3 F

! t8 Y5 i' c( f6 u8 a7 X情况三：  
7 l" o8 }+ o6 |/ b' m- {仿二之解法，可求得

8 ]. s3 J- Q: X/ b0 L6 K4 J

) U; q6 O0 ~( n6 b" f


2 K9 \% o6 x$ M* f1 n
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
; z& u! t* |) J; v2 k% v7 k
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
( q5 ?# e1 o" n# _6 S7 r6 _0 Z, ^

定理：
7 t# }. {4 o  h$ q设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
  L6 K. M. O) d0 D) [- e# n7 j* w
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则




9 Y; O+ P$ {) d) q1 k


: }4 W" V. v! E, y% K- D
  B  U  A0 c; Q# ?8 d" X$ a, O+ @其中  为所下注之金额。利用






% I* J9 u/ q6 j8 O- |0 O( x" K

2 r0 l& ?, g, z# N可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



4 m: J  s( b: @- v) F1 S  d



( ?- s/ Z8 o$ g' E6 h+ r
因此可得在情况二， 时，
# ?) Q0 m( ~/ ^3 J5 f; `
- [! D. x4 y! ]! |/ Y

, Q& D" H! U  Q; |0 V# u4 X2 Q8 H: ]3 `
3 l2 G3 U9 T- A5 z2 O2 ]5 V3 i: D' N

  ]/ N" Q, f- V0 x3 U* @4 c
8 @; g& _) T+ m1 C. n' b$ U
而在情况三， 时，
; q) H. }5 ]- B: t& w

3 f6 h+ `' Y+ `# F( V. `
; q. z" h! S4 `$ M" x
7 E5 Q, z) y7 j0 T+ v  X

1 F9 R2 R2 Y2 J  J- ~, N# g
0 W2 c: E" \; @
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

- D& R7 L: p- F. c/ q8 d+ @至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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: i0 O4 o( ?2 E2 \附录


) t$ l, ~2 C, J  S4 }在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

& E& V; ?( U, O! z. F3 Q


$ ]2 X. x0 z" e% P) x8 H
3 f" d" k( ]( t6 K% G: ~: ?8 ~3 O


另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！