% ?8 ?3 O- Q8 ~. d+ U+ U3 d 随机过程* w" p- }% Y3 O2 }: a: C
/ V3 T. Y; F& o
既然是数学家们参与了，肯定研究就是定量的，也是会有个结果的。那现在我们知道什么是无规行走了吧？接着来看下它的特点。无规行走实际就是一个随机过程。既然是随机过程，就跟概率学中所有的随机现象一样，有一个叫做“随机变量”的概念。就说这个酒鬼吧，影响他决定往哪个方向走的一系列因素，都可以看成是随机变量。比如，当时可能北边吹来一阵清风，感觉非常地爽，他可能就走向北边了；但也有可能当时他走的累了，感觉往南边走更活力，于是他也可能往南行走；也可能是南边飘来了股酒香，于是他就奔南边去了。。。。。清风、酒香，就是酒鬼漫步的随机变量。再比如抛硬币，每抛一次，就会产生一个随机变量，这个随机变量可以是力度、角度、空气密度、风速、温度、湿度。。。。。等等的微小变化。重复抛掷下去，就产生了一系列随机变量，这个随机变量的总和（数学上有个专门的术语，叫“集合”，这个更准确），就形成了一个随机过程。 4 a9 l2 v# @5 }+ N0 Y* `/ V: H4 @1 i8 g- X
帖子并非百度来的，所以我想在这里再着重说到一点，以加深理解。随机过程必须要有随机变量，换言之，没有随机变量，也就无所谓随机过程。再举个例子，百家乐的庄闲，如果我们每一靴牌都拿一幅新的，不洗牌，不切牌，直接发牌，会怎样呢？很明显了，结果都是一样的，每靴牌的结果相同，大路相同，点数也相同，没毛病吧？之所以说百家乐是随机的，因为在发牌前经过了洗牌、切牌的处理，而这每次的切牌、洗牌又因为操作的人不同、切的厚薄不同、拿牌的力度不同等等因素，所打乱牌张的程度或是顺序就会不同，这就有了一个洗切这样的随机变量，百家乐庄闲才变得“随机”起来！即百家乐的庄闲是随机过程。如果不是酒鬼，换成一个正常的人，就形成不了无规行走，即没有随机变量，行走过程就不随机。假如科学真的发展到可以精确地，把影响硬币运行轨迹的所有参数都去掉，每次以绝对的力量、角度。。。。。来抛掷硬币，那么抛硬币还随机吗？如果让一个训练有素的高手来刻意重复切牌洗牌，百家乐的庄闲还随机吗？这里我主要强调随机变量对于随机过程的重要性！这个试验非常简单，在一块木板上呈梅花状均匀地钉满钉子。图中之所以把钉子钉成一个三角形，那是因为没钉钉子的地方小球根本滚不到那里去。然后拿小球从上面的入口放进去，小球经过第一颗钉子，随机向左或是向右，然后经过第二排钉子，再次随机选择向左或是向右。。。。。。。最终会是怎样的呢？看下面的动画（图片和动画均来自百度图片，类似的图片很多）。他奶奶的，这让我想起了上小学时候在街上玩的这个游戏，跟这个板子是一模一样的，一毛钱投一颗球，大奖全他妈在两边，中间的奖品全是不值1毛钱的！我就纳闷了，我怎么就搞不出个大奖来呢，原来原因全在这里了！不一样的是，我长大了，我明白了，还有好多朋友长大了，仍然没搞明白当初是为啥输了！% o. ~. Z% u& l5 U4 y
4 _8 \8 L" N0 Z4 k8 P& V
$ J. j U$ I* h & |# c( W7 `0 ]6 n $ J6 j+ \ ]. H. k3 S5 H4 d哈哈，有没有发现啊，这个就是最终的结果，小球会呈现出一个中间多，越往两边越少的类似于一个钟形的形状！这就是概率学中所说的“钟形曲线”！我们不是要说百家乐吗，好我就插个队，排列一组数据出来，大家就会知道钟形曲线在百家乐中是什么样子了。* { D& n8 j1 y, j
) D9 d; M) Z# I8 h- W; s2 ^3 ^' I8 H- A7 \/ l/ ~% K; B0 D
很奇妙的是，按照5手(当然可以是任意手)百家乐的胜率情况来排列的话，刚好就是一个标准的“钟形曲线”！我们不难看到，多数情况下，我们就是5胜3或是5胜2的居多，5胜4和5胜1次之，5胜5和5胜0最少。各位看到了什么？你的百家乐策略在制定的过程中又依据了什么？得到了怎样的启发？此是后话，并不在本篇之列，咱不能说的太杂了。不要跟我说你打了32个5手完全不是这样的，你打320个5手甚至更多个5手试试？咱不抬杠哈！ : ^+ I# m4 g! M& s+ k$ t( h( E) r. U, r9 j
回到正题上来，扯偏了好像。高尔顿板钉，由于看起来是个二维的空间，实际上可以作为一个一维空间来看，因为小球的运行只是向左或是向右，向下运行是铁定的，即垂直方向并不存在随机，向下的运动可以看作是我们打百家乐时的手数，是定向地向前1手1手地递增，也可以看作是个时间轴，我说明白了没？我们完全可以不去考虑。这样的话，这个试验就可以看作是一个一维无规行走的例子。0 Z/ y1 t1 g" g$ t1 i3 A
- y. X) t8 z/ F' T5 S& B. A' N
酒鬼失足/ c) O0 u. U7 N9 U& J9 ]. n
' f2 R% x( W5 r Z A
重归酒鬼的问题。假如这个酒鬼是站在距离悬崖边1步的位置，我们可以想像成是有人故意把他带到这个位置，然后撒手不管他了这种情况，也可以看作是酒鬼当漫步到这个位置时，我们开始来考察他。接下来，这个酒鬼开始漫步！那么，问题来了，他掉下悬崖的概率是多少呢？为了让过程变得更加简明容易理解，当然是更容易考察，我们再假设酒鬼的随机漫步是在一维空间进行，即，只向靠近悬崖和远离悬崖方向行走，可以想像成一个既不能上、也不能下，也不能左行、也不能右行的封闭胡同里行走，一连是悬崖，一连是没有尽头的安全地带，哈哈。。。。科学需要假设，不要抬杠现实里有没有这样一条胡同，这里只是想把问题简化。# \2 s" ^# i6 b
, n2 x$ R. |( R
按照上面的简化，现在的问题变成了一维的空间。假设，悬崖所在的点为0（可以把这个一维空间看成是一条直线，也可以看成是平面坐标系的X轴原点位置），那么，是不是随机变量的值一旦达到0，酒鬼就掉下悬崖了？这里我来提个问题：设，酒鬼向右走（远离悬崖方向）的p概率为2/3，向左走（靠近悬崖方向）的概率1-p为1/3，那么，酒鬼从1所在的点做酒鬼漫游运动，他有多大的概率会掉下悬崖（别跟我说酒鬼向左向右走的概率都是1/2，我们现在是在假设）？ & a& q9 Q6 k. P/ q4 G$ A5 i d8 i0 B/ `0 K" `: _) m0 f5 t
/ k0 B' L8 s- I0 H# W; `
& W# t8 {! q$ i: `7 b6 l) j$ p6 v( V4 d0 x
哈哈。。。。这么简单的问题也拿来考我啊，这不侮辱我的智商吗？酒鬼从1的地方只要向左走1步就掉下去了，向左走的概率是1/3嘛，这不明显掉下悬崖的概率是1/3吗？/ [1 I* Y& v9 O5 H0 g' s/ o/ ^( _
5 H, z. \1 r- m8 O" t
好的，答案收到！如果你真的只是这样来考虑问题的话，我现在是真的想侮辱下你的智商了！答案果真如此吗？我承认，你的思维很正常，但这里的1/3是他头一步出脚方向的概率！如果我这样问，这个酒鬼第1步掉下悬崖的概率是多大？恭喜你，你答对了。但我没这么问好吧！这里的情况非常复杂的。比如，他第一步向右走，第二步又向右走，然后接着左行3步，掉下去没有？！这也就是说，即使酒鬼漫步到了3的地方，又或者离悬崖更远的位置，他仍然有掉下悬崖之可能，对不对？第一步掉下悬崖的概率为1/3，如果第一步没掉下去，我们就要加上第二步掉下悬崖的概率，当然第二步又没掉下去，我们还要加上第三步掉下悬崖的概率。。。。。这样，这个酒鬼掉下悬崖的概率无论如何，都是要大于1/3的！ 4 L( W' ~& s. N5 Q* p9 n5 b * h/ U# ]$ [* j' ?$ F+ t: | 设酒鬼从1的地方掉下悬崖的概率为P1，那么，这个概率就是我们要求解的答案，即酒鬼从1的地方漫步掉下悬崖的概率了。当然，P1也可以是酒鬼从任意位置k漫步到k-1位置的概率。（k-1）表示左移一步。值得注意的是，酒鬼走1步与位置移动1格的不同。酒鬼从k到k-1虽然只有1格，但实际走起来可能要很多步。再把2的地方漫步跃落悬崖的概率写作P12（因为酒鬼如果第1步没掉下悬崖而漫步到了2的地方），把从3的地方小叔跌落悬崖的概率记作P13。。。。。。把从n的地方小叔跌落悬崖的概率记作P1n。。。。。。不难得到如下等式： - z' W' s7 g8 o9 F& g % n+ H, l% U) G2 R% @" B) x P1=1-p+pP12; R- \/ r; y3 I: {3 V- O: l
" M: u1 }% M: F$ H 由此可以解出P1=1，或者P1= (1-p)/p# B8 ?) k! q& @+ C: n0 t$ s& \$ F
& J4 r. {! U1 h6 ^' b- y l' n" c ` 从上式不难看出，当p=1/2时，P1=1，我们知道，P1=1说明酒鬼就跃入悬崖了；当p小于1/2，P1>1（Pn的情形也是一样的），可以概率最大值只能是1了，p是酒鬼向右（就是朝悬崖反方向或者远离悬崖方向游走的概率）。所以，如果酒鬼朝远离悬崖的方向的概率小于1/2的话，无论他从哪个点开始游走，酒鬼最终是必然要掉下悬崖的。如果p=2/3，P1=1/2，Pn=(1/2)n！这里我们看到，n的值越大，即酒鬼初始点离悬崖越远，他掉进悬崖的可能性也就会越小！! F1 P* |& G' l+ ?* f
; q$ P( z, F1 U: G4 `! ]8 m 上面说的是无规行走在酒鬼失足上的具体应用。借着这个问题，我们还可以运用在赌徒破产问题上。赌徒破产问题也叫赌徒输光定理。为了简化问题，我直接引用一段百度百科现成的描述：“概率论所提供的有趣定理：在“公平”的DU博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输光。在一次DU博中，任意一个赌徒都有可能会赢。谁输谁赢是偶然的。但只要一直赌下去，输光或者庄家破产跑路是必然的。”详细的论证过程我这里就省略了，大家可以搜一下答案，也可以参照上面的酒鬼失足问题，论证过程大同小异。2 }* \! Q2 F* [$ W; l, N
" b+ C( L6 b F$ d. e
赌徒破产 6 B* D3 z7 j3 P# G
# Y$ o) ?" M1 ^ 概率问题的最初定向研究，缘于游戏。时至今日，概率学的研究已经相当深入，许多问题已经得到正确的解，例如无规行走。无规行走是一个数学模型，其应用范围非常之广，酒鬼漫步失足悬崖是肯定的，不管你如何来描述它都是如此。现在来说赌徒破产问题，这实质也是无规行走的一个例子。假定我们中间有这么一员（当然是赌徒了）在线上或是线下菠菜，赢的概率是p，输的概率就是（1-p），每次的赌注为1元，初始本金是n元，胜了注码加1元，输了注码减1元。现在的问题是，赌徒输光所有本金的概率是多少？这个问题就是无规行走，跟前面我们说的酒鬼失足问题可以看作是同一个数学模型。本金n相当于酒鬼离悬崖的位置，本金越大，离悬崖越远。掉下悬崖的地方，即是赌徒本金清光的时刻。答案也已经有了，即当赌徒胜率p=1/2时，我们是必然会输光本金的！ 1 c# Q9 V5 m: V9 n 2 h6 @8 D8 @/ g/ @ 平注必输 ; L1 H( Q/ x, T C0 Y) |. @, R7 H. `8 ?$ q
我们所玩的游戏，即使是1/2机会类的游戏，如百家乐，龙虎，轮盘大小、单双等，实际上除去抽水之后，是会比1/2胜率输钱更多的。因此，我们得到结论：平注必输！我叫它为平注必输定理，可谓毫无争议！兄弟们，请注意，自本文出炉之日起，不要再为平注是否能战胜庄家这样的问题争论不休了，前面已经作了严谨的证明。 ) g) _. r; t5 z1 d" G; ]1 |$ n " `2 L; m4 p7 ?3 X# f 酒鬼失足问题，我们还可以运用到胜率上来，即胜率必然回归！这无关我们前面是从什么位置开始的。比如，我们已经净胜了6手，那么，后面不管胜率如何走向，最终必然能再次回到净胜6手的位置上来！这个问题还可以这样来理解酒鬼失足问题，我们先作个小变换。如果前面说到的酒哥所在的地方根本没有悬崖呢？比如，在一望无际的沙漠，在一马平川的平原等，而且能走的路也能无限延展，没有尽头这样子的场景。现在的问题是，酒哥从家里出发（可能喝高了想出去吹吹风或者啥的），结果出门就作了个酒鬼漫步。计算下，此哥能最终不借助醒酒回家吗？回家的概率是多少？ X }' j' |7 }$ H8 v. K( g
+ w; T8 i1 l" [; ^6 ? 你别说，还真有这么一个数学家闲的没事干研究了这个问题！这个论证过程也不复杂，我们直接引用结论就好了。结论大致是这样的，在一维空间，酒鬼虽然忽前忽后，但酒哥最终是一定能回家的，回家概率100%！但这个时间要足够长，喝得足够多，不要一会儿就醒了哈哈。。。。二维空间的情况也差不多，最终还是能回家的。所以，我们下回喝醉了千万不要怕回不了家，数学已经证明了，可以回家！！但是，后来的证明表明，如果在大于二维空间漫游，回家的概率就会大大降低！比如在三给空间里，如果人长了翅膀啥的，回家的概率就大概只有不足35%！- f& n, O3 V, A# L& I! L* G
6 G$ L$ h& y7 y2 J: N7 i2 S 胜率回归 / V$ K* u; A; G4 e4 g8 d/ A3 G $ S: i6 y- b2 y% g( P 酒鬼回家问题再次说明，胜率必然回归！游戏嘛，比如百家乐，非胜即负（不考虑和局，和局的胜率非1/2，不作考察），可以看作是一个筹码在一维空间上的一个无规行走，我说明白没？既然是无规行走，那就肯定不用证明了呀，最终的胜率必然是要回到起点的了。但这里说的回归，跟大数法则所描述的完全是两回事哦！我说的“胜率回归”，是一个即时时刻，是一个胜率归于50%的具体位置，一个点！而大数法则描述的是一个趋势！我好像又澄清了一个问题，那就是胜率回归是酒鬼回家问题，而非大数法则问题，虽然受大数法则影响。 + W; u: r$ ]( }, J& ^% S% o, v4 G9 i }
现在问题终于很清晰了，本金，相当于酒鬼失足问题中远离悬崖的距离，离悬崖越远，肯定掉下悬崖的过程越复杂了，也可以说越费时；但是不是费时，要看你每1步的大小而论，即使你离悬崖百步之遥，你以每次100步的幅度作无规行走，结果怎样？所以，注码大小，即是酒鬼作无规得走每步的距离！显然，在本金一定的情况下，注码越小（步幅越小），失足过程越复杂！再强调一遍，不要考虑胜率，也不要试图去改变胜率，因为那完全不可能。游戏的过程就是无规行走的过程，对于胜率而言。如果你想强迫自己中途“醒酒”而改变漫游状态，那还叫无规行走吗？事实上，反正我是做不到，所以我用随机投注法决定投注方向，没毛病吧？ 3 u: O# A; W; i' i$ X 7 L4 S' r ~; B8 Y% Y 当然了，酒鬼不可能有翅膀，可是小鸟可以呀！那假如给小鸟喝点酒啥的，让它在三维空间作无规行走，如何？概率学上有这么一句话：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家！结论一下——我们玩百家乐，乃至任何游戏，其本质就是在拥有本金N的情况下，以注码M为单位，在胜率的一维空间，作无规行走！7 S/ u' N4 F, n$ N/ I; N! o3 W
* }' Y. h( R; O; }+ O' S8 ~: j( [; \
6 s; @* R1 T, L