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了解机率和或然率 4 M' _8 L: a! t
概率,也就是机率,机率是属于数学中或然率的一部分。或然率可用於我们生活中的每个部分: # h \6 H8 Q* k' W$ R' E
天气、科学、商业、保险、股票药学等。明天会下雨吗?男人平均能活多久?医生,我有多少机会?它合用范围很广,这个在数学中重要的一环,和DB及对DB的分析息息相关。
2 j8 A4 q: A1 U! X& |5 _8 r& V0 E6 B3 [" g' h6 x
一堂速成的或然率课程
8 {" @9 x, f' X) w$ [3 @那么,什么是或然率?它是对机会规则的研究。大部分的人都很熟悉它的基本概念--或然率可以用来衡量一件事多常发生,或者更精确地说,可以期望它发生。虽然有些或然率专家们试著做统计,卻始终无法肯定;地球被小行星撞击的机率,或者一个小孩长大后成为百万富翁或奥运选手的机率。然而,其他的机率,包括DB中的机率,因为涉及的是我们知道全部结果的机制,因此可以准確地预测它的或然率。如果你丢一个普通的铜板,你掷岀正反两面的机率是一致的。丢铜板有两种结果,因此你丢岀正面的机率是1/2--每两次你有一次丢岀正面的机会。 ) @! e2 D/ ]' Q( ]
所以,机率对一特定事件(我们称之为X)的发生来说也是一样的。它把X可能发生的数目,和所有可能发生的总数(我们称之为Y)相比。可以这样来表示机率--写成P(X) ,读成「X发生的机率」--可以比率或分数的方式表达之。
) q" I9 K( n1 q- l4 Z( TP(X)=获得X结果的数目/所有可能的结果(或Y) . I4 s# W c; ^
所以,在一副标准的52张牌中,抽中一点的机率是: 0 g- J, z( e# j7 W
P(拿到一点的机率)= 一点的牌数/所有的牌数
! u3 b3 S3 J( @; ^ = 4/52 ) n$ F6 S- G/ z* C5 E4 c
=1/13 * ~2 l8 y b# h& x% r7 y
/ V. r: J* a* t: T W- F, X4 q: z; _" r9 G
其他任何一种机率的表达方式
: \* [, }, X* ^" s' Z( M6 V机率有许多表达方式。虽然它们所指的都是同一个东西,但是在不同的情形下,某一种形式可能会比其他的来得方便。我们就来看看在52张牌中拿到梅花的机率。 # }5 W& ^9 V+ { y* m% p' x$ Z
P(拿到一张梅花)=梅花的牌数/所有的牌数 ' k& s; G8 N6 W2 d: r3 d7 `+ J% Y# E
=13/52 - v3 @& g8 g) t5 _
=1/4 % D, ]3 z' y4 j. d( F
首先你要注意的是,13/52这个分数应该化简成1/4。一个简化过的、较为简单的形式通常看起来会比较顺眼,也比较有意义。如果你在书中看到一个机率,没办法一看就有感觉,那么很可能你必须先化简它。
O" c. P4 O5 i" V让我们来看看几种拿到梅花的机率的方式。我们可以用小数的方式,0.25来表示四次中有一次的机会,或是说有25%的机会拿到梅花。
" s9 O2 o0 I$ [当人们说机率是50-50,他们指的就是两次中有一次的机会,也就是有50%的机会会出现这种情形,而有50%的机会不会出现。表示机率的时候,有时候我们用分数,有时候用小数,而有时候用百分比。
! |3 M2 Y5 C4 C1 y表达某一事件机率的不同方法 " @/ T+ N. K: l
1)事件 抽到梅花
' i7 w( U# r* R/ K2)敘述 梅花的牌数/总牌数
4 k! @& z# c2 r# P- f. d$ m3)分数 13/52=1/4 ) p5 x& B& n4 g7 k1 }
4)小数 0.25 ' G+ W2 A2 F. V$ K
5)百分比 25%(小数X100)
' `) h8 j. ^9 p' I7 n8 r( M6)发生率 四次中有一次
5 C1 M4 t T; n7)比 3:1
E( M: S3 A' Q' q$ X
3 {1 Y: C$ W* o: P# o基本机率法则
5 j2 _1 o6 M3 g* \, G8 T: D如果你能了解以下的规则,那么就不难理解大部分对DB的解释和分析。
) ~0 w+ u+ e5 e0 V( ?(1)任一事件发生的机率必介於0和1之间 0 m1 I3 h" E# E9 g' L" V; }
当机率为0时,表示该事件不可能发生;例如:用一个正常的六面骰子掷出7点的机率,这是绝对不可能发生的。 7 Z; ?$ j ]' u, M7 [% S' V6 U: ]
当机率为1时,该事件百分之百会发生;例如,用一个正常的骰子,掷出1到6点的机率即为1(当然扣除骰子边沿著地的机会)。 k8 o( U5 Y2 d! H4 F) U
机率永远不会有负数--0(表示该事件不可能发生),小於0的数字不具任何意义。
3 C9 I9 t: g, E; F(2)一件事会发生和不会发生的机率总和为1
. I# w% ~8 [% [2 d1 s1 L0 ]8 o为什么呢?因为所有结果加起来的机率一定是1(100%)--不管是不是你要的结果,一定有事会发生。
: t: R: ]/ a7 @" a4 _9 X4 G1 k9 \例如:用骰子掷出2的机率为1/6,加上掷出不是2的机率为5/6--总和即为1(1/6+5/6=1)。这看起来很理所当然,但是当我们间接推算机率的时候,这可是相当好用的方法。举例说,你想要知道在一副正常的52张牌中,抽中梅花的机率是多少。但是你並不了解整副牌的组成元素。你只知道抽中非梅花的牌的机是3/4。其实知道这样就够了。
% l# u( W4 l, Z$ H IP(抽中梅花的机率)=1-P(抽中非梅花的机率)
, A8 }* `: W: D9 N% f =1-3/4
8 c$ h9 H8 j- i9 _ =1/4 $ r! i# r1 }5 q3 a1 |0 h+ ]- g# a' D$ F' i
' P) Q, @/ s' |6 k
(3)连续事件发生的机率等於各独立事件机率的积
" c, ]0 G& e& V& ^! ^7 h0 l9 L是的,这听起来很复杂,但是你或许已经很熟悉这个规则的运用方式了。这么说吧!假设你想要计算连续丢出两个1点的机率好了,丢一次骰子获得1点的机率是1/6(共有六种可能的结果,只有一种是你想要的),而掷出两次1点的机率为:1/6X1/6=1/36。每次掷骰子都是「独立事件」(两者互相无关),而发生这种「连续事件」(丢出两次1点)的机率即为二独立事件(1/6)的积(即相乘的结果)。因此,这连续事件並不一定是要同一颗骰子丢两次才行,如果同时丢两颗骰子,也可以构成连续事件--因为两事件各自独立。
5 o, U( e- O" @" M6 y. R再举另一个例子:你同时丢一颗骰子跟铜板。那么,你丢出铜板正面且骰子为1点的机率为何?此为二独立事件,该事件的机率即为两独立事件的积。丢出铜板的机率是1/2,而丢出骰子1点的机率是1/6。因此发生此事的机率为1/2X1/6=1/12。 9 m! Y. Z M" {* }' P4 E3 ~1 |. `
$ b, I3 i' ~" S& Y/ I, t1 I
(4)两非独立事件发生的机率亦为两者的积,然而,当事件发生时,后发生的事件会受到先发生事件的影响。 ! f$ G) H% V% \% E9 l U0 b! s5 z
这又是个令人困惑的说明,但是如果举个例来说就很清楚。例如:你想算在一副牌牌中,连续抽中三张梅花的机率。它的机率为13/52(52张牌中有13张梅花)X12/51(一张梅花--一张牌已被抽走了)X11/50(两张梅花--两张牌已经被抽走了)=0.0013或是1.3%。如果你在每次抽完又把牌再放回去,那就变成独立事件,抽到三张梅花的机率13/52X13/52X13/52=0.16或1.6%。 # O, d, w1 l) M. z
2 y0 _" K& \0 Y. l0 p经典的机率实例 $ w. i x/ n) z
即然我们已经了解机率的基本概念(不是吗?)我们就来看一个经典的机率实例,让它告诉我们现代机率理论是从何起源的。
% E f" d0 B2 \9 V9 J8 R! v在十七世纪,一位名为薛瓦里耶。德美尔(Chevalier de Mere)的法国贵族,他是一个用骰子来赚钱的骗子,他跟对方下同等金额的注,赌说掷4次骰子,至少有一次会出现6点。他的理由如下:
3 s u3 E/ ?' eP(6)=1/6
! _ X. ^; V7 |P(6)=掷4次的机率=4X1/6=2/3
: a( t( _3 Q+ D- b* n7 ~9 Q, g7 w7 h他的这种赌法赢了不少钱。虽说他的推理是错的--我们等一下很快就会看到--但是他还是佔有优势。(你已经知道他为什么错了吗?) 6 V0 ?9 R# Z7 h2 z, r# k
当玩这种游戏的受骗者变少后,薛瓦里耶开始改玩另一种赌注。他也是用同等赌金,打赌在掷两颗骰子24次时,至少会出现一次两个6点。他的推理如下: % V2 R0 H0 J& e- X+ w( M! e
P(6,6)=1/36 6 e& h; L6 {0 e+ \6 J& c
P(6,掷24次中出现6的机率)=24x1/36=2/3
: o, T8 i; {& O# l' X! ^! Z% U3 n! q但令他惊讶的是,他开始输钱了。所以他就问他的朋友--数学天才巴斯卡,为什么会发生之种事?巴斯卡觉得相当有意思,就问另一位数学天才德佛美。他们的想法一致,因次就創造出现代机率理论。(而我们竟要感谢一位骗子的老祖宗!)让我们来看看他们研究薛瓦里耶的问题的结果。
5 X/ \% y0 W' B+ ?在第一个例子中,我们知道 在任一个骰子中,掷出6点的机率是1/6。但是,解决这个问题的真正方法,是要算没有丢出6点的机率是多少?很自然地,它就是5/6。所以,如果薛瓦里耶想知道真正的结果,他得知道 掷4次骰子时,没丢出6的机率。每次掷都是独立事件,请用上次提到计算独立事件机率公式,我们就会得到以下的结果:
; }/ J, r x# b2 Q2 r5 s8 n8 P9 m TP(4次中没有掷出6点)=5/6x5/6x5/6x5/6=0.482
2 |. v. e9 Y% r- x/ m这表示有48.2%的机率不会丢出6点,因此薛瓦里耶算错了那个赌注。现在要算至少丢出一个6点的机率就很容易了。记得,有些结果一定会发生,那就是为什么我们用1减掉0.482。
) x# t3 P3 p7 o! Z( H% n& eP(掷4次骰子出现一次6点)=1-P(掷4次没出现6点的机率)
5 Q, p1 c$ I/ O =1-0.482 9 f# I! S2 ?3 i
=0.518
" p: r. G# D8 R' f所以,薛瓦里耶有51.8%的机率赢他的同等金额赌注,这就是为什么他能赚钱的原因,虽然机率不是他想的2/3。用倒回去的方式解决这个问题,虽然似乎和直觉相反,但实际上是比较容易算的。 , n1 F# ]8 r! h& b! o) w; M
薛瓦里耶最初的理由也是站不住脚的,如果我们再往下看一个步骤,用他错误的方法:如果掷6次骰子,掷骰子的人必定会丢出一次6点。很显然这是错的,也让我们知道为什么要算没发生该事件的机率是合理的。 7 o$ y; n- n( W7 q! v' E
现在让我们看看薛瓦里耶输的那个游戏:他想知道 在掷出24次骰子中,同时出现两个6点的机率为什么不是24/36。同样的,算出不出现的机率也是比较容易的: 0 Q- n" T2 p4 w( F1 y$ y3 {0 v* g4 x
P(掷出24次骰子没掷出12点的机率)=(35/36)^24 % O3 i1 B1 h# E1 }3 P. J" r1 X
=0.509 4 m7 b. n7 P$ p: }9 a1 e8 X/ D
因此:
2 ^+ y( ]- I9 u/ d- }* S! L/ l P(掷出24次出现一次12)=1-P(掷24次骰子没掷出12点的机率)
( m" E+ g/ L% {% i7 x. d, z =1-0.509
7 `" @, j/ F6 q4 E =0.491
8 v- K# i( P* O, d- M- u! i* p5 A
. _5 \0 F6 ~+ H 啊哈!薛瓦里耶在第二种游戏中的机率只有0.491,也就是只有49.1%得胜,那就是为什么他会在这个相同赌注的游戏里输的原因,老千反被老千误,但是他真的很幸运,因为有当时最历害的几位数学家帮他解围。 & y7 B3 s& Y+ b
- K, m2 i! G3 E) ?
一旦我们了解到一件事发生的机率,下一步就是想到该事件发生的「比」。如果说机率所描述的是一椿希望发生的事件与所有事件间的关系,则比所描述的则是希望发生的事件与不希望发生的事件间的关系。
, u( u3 }7 `# @0 B8 ~就传统而言,比通常被认为是「不发生」该事件的比。这或许是你在进DC玩任何游戏时,最先想知道的吧!
" |* q9 h& T: B s" A, @7 M让我们再拿梅花的例子来说,我们知道它的机率是1/4;四次当中有一次成功的机会,有三次失败的机会,因此,该事件(抽到梅花)真正的比是3(失败的机率)比1(成功的机率)。或许这时候你会皱眉头想一下,「但是一副牌不是有52张吗?3比1的真正意思是什么?」好的,说3比1等於是说39(非梅花的张数)比13(梅花的张数),分数巳被化简过了。 5 j1 T2 }: w# `2 F2 J3 J; F1 W W; q
当你丢一颗骰子,希望丢出2。丢出2的机率是1/6。比率是5比1;这也可以写成5-1。要了解「A-B」等於是说「A比B」。
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比不一定永远是「多少比1」,但是所有的机率都可以写成比。遵守一个原则:把机率写成分数,假设是X/Y。记得,Y是所有可能发生的机率。而X是成功的或是希望发生的机率。所以用Y减掉X,你就可以算出所有你不希望发生事件的数目,然后就可以算出比。发生X事件的比为「Y-X比X」。假设某事件发生的机率为9/35。这不是个漂亮的数字,但我们还是算得出来。该事件发生的比是26比9。习惯上,我们会把它化简成一个较容易了解的形式,即使它不是整数。例如26比9可以化简为2.89比1。 6 n- _ K! A3 {* k7 a0 T" c
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很好的一个课题,Dubo就是需要学习各方面的知识,打下稳固的理论基础,不想盲赌就要努力学习。 |
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