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[真人] 骰宝游戏的数学解释
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1#
一、问题陈述
& T3 P& V1 s: p; @
) V: p5 i( e. @: x玩家先选择所押兵马俑币的数目,然后选择买大还是买小,确定后这个3个骰子由系统程序随机的产生3个1~6的随机数字,如果这三个数字相同,则无论买大还是买小玩家都回扣除所押数目的兵马俑币;如果不同,则将这三个数字相加,4~10点为小,11~17为大,若玩家压对大小则获得所押数目的兵马俑币。 ( q+ F" T3 J4 A7 {. S
: q; O$ }6 G* d+ E9 o2 f
现在由此提出3个问题:
% N! ^& |$ k" \& e+ W0 e/ [4 M9 J" u6 ]0 p4 h3 V
1、买大赢的多还是买小赢得多? - n5 ^, q9 Y; e/ t/ `' k5 p
2、这种赌法有可能挣钱么?
! H9 U3 ~) C  N3 q0 I2 \% j, y/ E3、如何玩才能更挣钱,是否存在一种玩法只赚不赔?
, P, O3 m7 T; B5 H' j" ^4 W3 s  X二、化简和假设 / o. q7 E# f0 _9 j( U7 D
$ _7 ~, Y% q1 z) @- I
假设玩家拥有兵马俑币数目为M(M为自然数) $ l  {$ |. p. V; Q6 w1 A# v& \
& |2 ^* V8 q1 I' N! a' M4 o* N
没次押的兵马俑币个数为N(N>=1000,N为自然数)
3 ~8 D$ Z8 P5 T- ?/ Z1 A: p# Z
) M; G: G; O, b7 F2 U% a8 u* Y当买小时,设f=-1;当买大时,设f=1 0 p7 g, C/ _5 Y1 l$ \9 S

& {+ {4 n' y! `# U设这三个骰子的点数为a、b、c(a,b,c为1~6的自然数) 8 ]% I, X) o" O# a: B

  J$ p  z( d4 R; n当a=b=c时,即庄家要是摇出全骰(三个骰子点数一样)则通吃大小家,设g=0;
$ f7 g) _+ w$ X7 W2 g8 N0 l
9 A. r7 X' `1 P% Z$ S8 [* l; W当a+b+c=4~10时,即开小,g= -1; $ ^+ ?  `( N! d* K! P# Z& W# q, r

% q; h8 T" Z1 [8 r0 \当a+b+c=11~17时,即开大,g=1. 4 K) E8 T6 b/ _4 l# L5 X  X3 }
* Z- f1 p  U9 m# a- T
h=1&&f*g=1 || h= -1&&f*g=0|-1 ( g  \1 e. {7 \* M, J& I; g

) a7 |4 w; D: W则1局后,玩家的兵马俑币数目为:M+h*N 5 D0 A+ X# a$ p! D4 M. E5 w

; r3 ~# ?! F; |第n局后,玩家的兵马俑币数目为:M+h1*N1+h2*N2+….+hn*Nn. 4 C! z2 g* G; o8 G, H
' ~: O7 W4 _% J0 `
三、模型及其求解 4 c( |- L( P$ c
2 o/ i; D8 R9 ^' `1 v
1、首先对单独的一局骰子点数情况进行分析
4 }/ h% h5 z1 A7 D7 D
* N/ Y0 Y# F( T* h- I: |0 D  a由于系统源代码未知,可假设每个骰子出现1~6点数是随机的,则对三个骰子 而言,组合方式有 XXX、XXY、XYZ两种,XXX仅包括一种,而XXY又包括XYX、YXX共3种,而XYZ有6种组合,由下表可列出开小、通吃、开大的种数:
) i. _! D( n- x: m! Y& l& [. r
) P* I& k9 n. C8 l点数 组合方式 开小 通吃 开大
3 y: B  E# e& f$ n3 l. A. ?' ?; g1 X0 q0 y& C9 }
3 111 0 1 0
( ]: u' t3 l6 I; X$ ^
6 t3 d/ h2 _1 X0 E9 q0 H! J4 112 3 0 0 - i' C1 B' F% q2 q* i

! |, c( ]8 X9 q1 Y6 J3 y3 }! c5 113,122 6 0 0 - q7 T! c0 D0 B# {) ?) n
1 D# z4 F& B( U& \  z! I5 u
6 114,123,222 9 1 0
3 j  q3 R' r( ]: R" W9 N0 M2 W7 q/ L' K( E" r/ o
7 115,124,133,223 15 0 0
" Z6 ]3 P( k+ n; H8 F; Y; D/ v
  s9 ^: B  E8 I8 j; s' n8 116,125,134,224,233 21 0 0 / d# D: \$ R( Q7 ~5 a6 T9 y

- y/ X  I5 E5 E. N% {* B9 126,135,144,225,234,333 24 1 0 3 m$ c* C+ O2 v' E5 _( m/ ~% b

$ B9 i- s$ N; l. [$ V; m10 136,145,226,235,244,334 27 0 0 ( F  S; x+ N; z

7 M- r' ]* ?, Z$ G11 146,155,236,245,335,344 0 0 27 3 W1 u# s2 a1 W

  t( s# _0 s5 @7 ~0 ?0 S12 156,246,255,336,345,444 0 1 24 * K0 V8 y7 M  E+ A( p* f' g" o2 U
4 T8 y+ `. r$ V6 b5 `6 N
13 166,256,346,355,445 0 0 21 7 J/ X8 U" t9 s$ M- p7 Z' r; Y" d
: E4 x4 v2 t( D7 a: @- g( J- B  n( i
14 266,356,446,455 0 0 15
* I9 K5 q. y! i: b3 O# H- M) l6 w+ N8 F* A* [- u  L
15 366,456,555 0 1 9
( m6 P7 Y% t! i% ~9 e
5 N8 M9 L4 u+ {+ p& ?  U# V16 466,556 0 0 6 0 h' n6 K9 R$ [
2 I! X! I1 E( x: z
17 566 0 0 3
% ?) w; u1 c/ S4 D& F2 s: D/ O0 s' U% z
18 666 0 1 0
# s4 N& U  X/ {- q/ F/ z
$ V: h& @  r/ K$ @; v) n: v6 r合计: 105 6 105
" w( F$ l4 ^6 X" C4 W/ p/ V8 I& f- h/ B+ D3 g' A5 s
三个骰子总共的组合方式为6*6*6=216种
# T# R8 m+ S2 y, x5 F, {7 r5 ^' X. F9 K, Y" M) \, j
通吃的概率为:6/216=1/36=2.78% 7 S% n; E- X! |/ n4 c2 l

8 ^" m9 b% P9 H开大的概率为:105/216=35/72=48.61%
: y4 k8 A5 x6 f1 A" u: u0 r$ T  h
5 I1 [) M; e+ n开小的概率为:105/216=35/72=48.61% " N( y- Z8 P, p1 L( i

; m+ @& u- D  C; y由此可见对于单独某一局来说,开大开小概率相同。
* S. D8 J+ i+ k( c" H; q) p
$ Y4 u- k7 l  O- M2 }) H则: " ?5 _% n- ?; h% b. g6 L
( m; p% Q! k/ Z9 N" z" p
2、初级玩家下注方式:
- h& m& l" z1 O; u/ T. ~+ F7 q2 G& w3 z7 X: W  L9 w
刚开始一般都回这样玩:每一局下注数目一定。对于这种情况所押兵马俑币个数N一定,则经过n局后,玩家的兵马俑币数目为:M+(h1+h2+….+hn)*N 0 c7 X. ^4 Z3 _0 l5 T
: y# T; M  {2 C1 I$ v& e' o" b
若一直买大,假设n很大,则:
: j5 t) ?! k' M+ U( j- @% s7 ~
% l. O+ C! _# l9 _4 r. h, [- ah1+h2+….+hn=1*48.61%+(-1)*(48.61%+2.78%)= -0.0278
) D7 b0 Q6 m9 d& W7 J5 j, b8 m4 B: O; j' ^6 s2 C$ m! ~9 ^
若一直买小,同理; ' F- X/ T* D4 O6 P; K) `8 o& D* Q
+ U0 T" o: U. [! P
若任意的买大买小,亦同理。 & z7 q$ t% x% o+ y! }) F& x

" S9 K2 s+ F, t3 Y. q9 @( Y因此,经过n局后,玩家的兵马俑币数目为:M*97.22%
$ o$ o. C* M! c4 @- P5 W; D8 o% [7 J% N3 O% `; `  f& M6 N5 E! E
可见照这样下去,每一局下注数目一定或相差不大时,当玩了很多局时,玩家的兵马俑币数目只会减少,只剩下本金的97.22% ,而另外2.78%被庄家洗走了。 :( 0 Q' X+ e6 ?1 v# R; c
* U: A/ D$ C  e
3、有经验者的玩法: ( S9 b2 ~: p# g4 g
  i+ N9 O8 D% B0 K% I; X- g- f
1) 下注的兵马俑币数目为x=N; ( `& p* w; J# c+ `
2) 所买大小与上一盘开出的相反; + {! v2 S4 M1 \% c/ T$ ?
3) 如果赢了,继续步骤1),如果输了往下继续;
! S( Y8 q; B" K. [5 {/ _: Q6 ^4) 下注的兵马俑币数目翻倍x=2*x,继续步骤2); ' }6 _$ ]' W; m& V9 _4 i! I
对于这种玩法,好像只赚不亏,可是如果一旦运气不佳连开了n个大,虽然这是个小概率事情,就会豪赌一 空,血本无归; Y& c3 U5 h5 }, o( `
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此时忽略掉庄家洗走的2.78%,可把开大开小的概率都看作50% & x  u) j4 a, A/ A: o

& q) Z7 t4 A" u- |1 v$ i$ h/ ]连开n个大/小的概率为1/2^n,假设此时的兵马俑币购用,则押上的兵马俑币数目为N*2^n,而输掉的数目为 N*(1+2^1+……+2^(n-1))=N*(2^n-1),当n较大时可忽略掉那个1,则所剩的兵马俑币数目为 M-N*2^(n+1),即是在第n局就将投入N*2^(n+1)的资金,若所剩资金不足N*2^(n+2),一旦输了必然血本难归。 9 P# P; n% R6 ?4 `" b9 l
; g" |+ N$ r# ~) w" f4 k
如果取n不大于10,N=1000,则连开10个大/小的概率为1/1024小于0.1%,而所需资金约为200万才能保证不会豪赌一空。虽然这样玩貌似很稳当,事实上这样每一局一般挣的钱很少很少。
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这样下注到底可以赢钱么?答案是否定的,因为每次开大开小是完全独立的过程,设为P,无论押注者买大买小,押注这个事件设为Q,每次押注开骰整个过程P*Q,还是完全独立的过程,因此当玩得次数很多时,玩家的兵马俑币数目不会增加,还会被庄家洗走2.78%,只赚不赔的玩法也是不存在的。
( t# j6 B: |) ?3 b" r" S/ E; w
5 r' q# j$ Y" F  ?四、对模型的评价 0 B% u$ g3 `8 v! G. ?
% a* r) Y: o: d0 d) D
通过数学方法的分析,我们发现,玩这个游戏,赢家始终是庄家,十赌九输正是这个道理,对于Dubo、彩票等也是同样的道理,因此不应该过于迷恋,踏踏实实努力做好本职工作才是成功之道。
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